Ecuaciones de segundo grado: cómo resolverlas paso a paso (con ejemplos)

TL;DR

Una ecuación de segundo grado es una ecuación que se puede escribir en la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son números y a ≠ 0. Se resuelve con la fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). La parte de dentro de la raíz, b² − 4ac, se llama discriminante y te dice cuántas soluciones hay: si es mayor que 0, hay dos soluciones; si es igual a 0, hay una solución doble; si es menor que 0, no hay solución real. Las ecuaciones de segundo grado incompletas (cuando falta el término bx o el término c) se resuelven más rápido sin usar la fórmula. Y como casi todo en matemáticas: aprenderlas de verdad es practicar muchos ejemplos.

Si estás en 3º o 4º de la ESO o en 1º de Bachillerato, las ecuaciones de segundo grado son uno de esos temas que aparecen sí o sí en los exámenes. La buena noticia es que, una vez entiendes el mecanismo, son de los temas más agradecidos de las matemáticas: hay un método claro, casi siempre los mismos pasos, y cuando lo automatizas se convierten en puntos casi seguros.

El error más común no es no saberse la fórmula, sino aplicarla con prisas y equivocarse con los signos, olvidar el ± o no poner la ecuación en su forma correcta antes de empezar. Por eso en esta guía vamos a ir despacio, paso a paso, con muchos ejemplos resueltos y comprobados. Verás qué es exactamente una ecuación de segundo grado, cómo identificar los coeficientes a, b y c, cómo usar la fórmula sin liarte, qué te dice el discriminante, cómo resolver las incompletas en dos segundos, cómo comprobar que tu solución es correcta y qué errores evitar.

No hace falta que se te den especialmente bien las matemáticas. Hace falta entender el procedimiento y practicarlo. Vamos a ello.

Qué es una ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado (también llamada ecuación cuadrática) es una igualdad en la que la incógnita, normalmente la x, aparece elevada al cuadrado (x²), y ese es el mayor exponente de la ecuación. Ese "elevado al cuadrado" es justamente lo que la distingue de las ecuaciones de primer grado, donde la x va sola, sin exponente.

La forma estándar, la que tienes que reconocer y memorizar, es:

ax² + bx + c = 0

Aquí:

• a es el coeficiente del término en x² (el número que multiplica a x²).
• b es el coeficiente del término en x (el número que multiplica a x).
• c es el término independiente (el número que va solo, sin x).

La única condición imprescindible es que a ≠ 0 (a distinto de cero). Si a fuera 0, el término x² desaparecería y ya no sería de segundo grado, sino de primer grado. En cambio, b y c sí pueden ser 0: cuando eso pasa, la ecuación se llama incompleta y se resuelve más rápido, como veremos.

Algunos ejemplos de ecuaciones de segundo grado:

• 2x² + 3x − 5 = 0 → aquí a = 2, b = 3, c = −5.
• x² − 7x + 12 = 0 → aquí a = 1, b = −7, c = 12.
• −x² + 4x = 0 → aquí a = −1, b = 4, c = 0 (incompleta, falta c).
• 3x² − 27 = 0 → aquí a = 3, b = 0, c = −27 (incompleta, falta bx).

Y algunos ejemplos que no son de segundo grado:

• 3x + 5 = 0 → es de primer grado, no hay x².
• x³ − 2x = 0 → es de tercer grado, porque el mayor exponente es 3.

Quédate con la idea clave: si puedes escribir la ecuación de forma que tenga un x² y ese sea el exponente más alto, es de segundo grado, y todo lo de este artículo te sirve.

Repaso rápido: qué es una solución (o raíz)

Antes de resolver nada, conviene tener claro qué estamos buscando. Cuando "resolvemos" una ecuación, buscamos los valores de x que hacen que la igualdad sea cierta. Esos valores se llaman soluciones o raíces de la ecuación.

Por ejemplo, en la ecuación x² − 5x + 6 = 0, la solución x = 2 es correcta porque si sustituyes:

2² − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓

Como da 0 (que es lo que dice la ecuación, "= 0"), x = 2 es solución. Lo mismo pasa con x = 3:

3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓

Así que esta ecuación tiene dos soluciones: x = 2 y x = 3. Esto es muy importante y es lo que distingue las ecuaciones de segundo grado de las de primer grado: una ecuación de segundo grado puede tener hasta dos soluciones (a veces dos, a veces una, a veces ninguna real).

¿Por qué dos? De forma intuitiva: como la x está elevada al cuadrado, y elevar al cuadrado convierte tanto los positivos como los negativos en positivos (por ejemplo, 3² = 9 y (−3)² = 9), suele haber dos valores de x que "cuadran". Lo veremos con detalle en la sección del discriminante.

Igualar a cero: el primer paso que no puedes saltarte

Para usar la fórmula general (y casi cualquier método), la ecuación tiene que estar en su forma estándar ax² + bx + c = 0, es decir, igualada a cero, con todos los términos en el lado izquierdo y un 0 a la derecha.

Muchas ecuaciones de examen no vienen así de entrada. Vienen "desordenadas" o con términos a ambos lados. Tu primer trabajo siempre es ordenarlas y dejarlas igualadas a cero. Por ejemplo:

Si te dan x² + 3x = 10, no está igualada a cero. Pasas el 10 al otro lado restando:

x² + 3x − 10 = 0 → ahora sí, a = 1, b = 3, c = −10.

Si te dan 2x² = 5x + 3, pasas todo a la izquierda:

2x² − 5x − 3 = 0 → a = 2, b = −5, c = −3.

Si te dan 5x − 4 = −x², pasas el −x² a la izquierda (sumando x²):

x² + 5x − 4 = 0 → a = 1, b = 5, c = −4.

Regla de oro: antes de identificar a, b y c y antes de aplicar la fórmula, deja siempre la ecuación con un cero a un lado y los términos ordenados (primero el de x², luego el de x, luego el independiente). Saltarte este paso es una de las causas número uno de errores.

Cómo identificar a, b y c (incluso cuando vienen desordenadas)

Una vez tienes la ecuación igualada a cero y ordenada, identificar los coeficientes es fácil, pero hay tres trampas habituales con los signos y el orden que conviene conocer.

Trampa 1: el signo va pegado al número. En x² − 7x + 12 = 0, el coeficiente b no es 7, es −7 (con el menos delante). Y c es +12. Siempre que extraigas un coeficiente, llévate su signo.

Trampa 2: si no hay número delante de x², la a es 1. En x² + 5x + 6 = 0, no ves ningún número multiplicando a x², pero está el 1 implícito: a = 1. Igual con el término en x: si pone "x" a secas, su coeficiente es 1; si pone "−x", es −1.

Trampa 3: términos desordenados. A veces te dan algo como 3x − 2 + 5x² = 0. Antes de leer los coeficientes, reordénalo: 5x² + 3x − 2 = 0. Ahora sí: a = 5, b = 3, c = −2.

Veamos una tabla para fijarlo:

Fíjate en las dos últimas filas: cuando falta un término, su coeficiente es 0 (en 3x² − 27 = 0 no hay término en x, así que b = 0; en x² − 6x = 0 no hay término independiente, así que c = 0). Esas son las ecuaciones incompletas, que tienen atajos.

La fórmula general, explicada término a término

Esta es la herramienta estrella, la que resuelve cualquier ecuación de segundo grado, completa o incompleta. La fórmula general (o fórmula resolvente) es:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Vamos a desmenuzarla parte por parte, porque entender cada trozo es lo que evita los errores:

• −b: es el coeficiente b con el signo cambiado. Si b = 3, entonces −b = −3. Si b = −5, entonces −b = −(−5) = +5. Cuidado especial con esto: cuando b es negativo, −b se vuelve positivo.
• ± (más-menos): este símbolo significa que hay que hacer dos cuentas: una con + y otra con −. De ahí salen las (hasta) dos soluciones. Olvidar el ± y quedarte con una sola solución es uno de los errores más típicos.
• √(b² − 4ac): es la raíz cuadrada del discriminante. Primero calculas lo de dentro (b² − 4ac) y luego le haces la raíz.
  • b²: el coeficiente b elevado al cuadrado. Ojo: como cualquier número al cuadrado, b² siempre da positivo (por ejemplo, (−5)² = 25, no −25).
  • 4ac: 4 multiplicado por a y por c. Lleva su signo: si a y c tienen signos distintos, 4ac es negativo, y al restar −(negativo) acaba sumando. Por eso aquí hay que ir con mucho cuidado.
• 2a: el denominador es 2 multiplicado por a. Toda la parte de arriba se divide entre 2a, no solo un trozo.

El procedimiento práctico, paso a paso, es siempre el mismo:

1. Deja la ecuación igualada a cero y ordenada (ax² + bx + c = 0).
2. Identifica a, b y c con sus signos.
3. Calcula el discriminante: D = b² − 4ac.
4. Calcula la raíz: √D.
5. Aplica la fórmula completa con el ±, haciendo las dos cuentas (una con +, otra con −).
6. Simplifica cada solución.
7. Comprueba sustituyendo en la ecuación original.

Y un consejo que ahorra muchísimos disgustos: calcula primero el discriminante aparte, en una esquina del folio. Así, cuando lo metas en la fórmula, ya tienes ese número claro y no lo arrastras mal.

Ejemplo 1: una ecuación con dos soluciones

Resolvamos x² − 5x + 6 = 0 paso a paso.

Paso 1. Ya está igualada a cero y ordenada. ✓

Paso 2. Identificar coeficientes: a = 1, b = −5, c = 6.

Paso 3. Discriminante:

D = b² − 4ac = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1

Como D = 1 > 0, habrá dos soluciones.

Paso 4. Raíz: √D = √1 = 1.

Paso 5. Fórmula:

x = (−b ± √D) / (2a) = (−(−5) ± 1) / (2·1) = (5 ± 1) / 2

Ahora separamos las dos cuentas:

• Con +: x₁ = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3
• Con −: x₂ = (5 − 1) / 2 = 4 / 2 = 2

Soluciones: x = 3 y x = 2.

Paso 7. Comprobación (sustituyendo en x² − 5x + 6 = 0):

• Para x = 3: 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓
• Para x = 2: 2² − 5·2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 ✓

Las dos funcionan, así que están bien.

Ejemplo 2: coeficientes negativos y a distinto de 1

Resolvamos 2x² − 7x − 4 = 0.

Paso 1. Igualada a cero. ✓

Paso 2. a = 2, b = −7, c = −4. (Fíjate en los signos: b y c son negativos.)

Paso 3. Discriminante:

D = b² − 4ac = (−7)² − 4·2·(−4) = 49 − (−32) = 49 + 32 = 81

Cuidado aquí: 4·2·(−4) = −32, y al restar un número negativo, se convierte en suma. Por eso 49 − (−32) = 49 + 32 = 81. Este es exactamente el tipo de paso donde más gente se equivoca.

Paso 4. Raíz: √81 = 9.

Paso 5. Fórmula:

x = (−(−7) ± 9) / (2·2) = (7 ± 9) / 4

• Con +: x₁ = (7 + 9) / 4 = 16 / 4 = 4
• Con −: x₂ = (7 − 9) / 4 = −2 / 4 = −1/2 (o −0,5)

Soluciones: x = 4 y x = −1/2.

Comprobación en 2x² − 7x − 4 = 0:

• Para x = 4: 2·4² − 7·4 − 4 = 2·16 − 28 − 4 = 32 − 28 − 4 = 0 ✓
• Para x = −1/2: 2·(−1/2)² − 7·(−1/2) − 4 = 2·(1/4) + 7/2 − 4 = 1/2 + 7/2 − 4 = 8/2 − 4 = 4 − 4 = 0 ✓

Las dos correctas.

Ejemplo 3: una solución doble (discriminante igual a 0)

Resolvamos x² − 6x + 9 = 0.

Paso 2. a = 1, b = −6, c = 9.

Paso 3. Discriminante:

D = (−6)² − 4·1·9 = 36 − 36 = 0

Como D = 0, habrá una sola solución (lo que se llama una solución doble).

Paso 4. Raíz: √0 = 0.

Paso 5. Fórmula:

x = (−(−6) ± 0) / (2·1) = (6 ± 0) / 2 = 6 / 2 = 3

Las dos ramas del ± dan lo mismo (porque sumar o restar 0 no cambia nada), así que solo hay una solución: x = 3.

Comprobación: 3² − 6·3 + 9 = 9 − 18 + 9 = 0 ✓

Decimos que x = 3 es una raíz doble: la ecuación, en realidad, es (x − 3)² = 0, un cuadrado perfecto. Lo veremos en la sección de factorización.

Ejemplo 4: sin solución real (discriminante negativo)

Resolvamos x² + 2x + 5 = 0.

Paso 2. a = 1, b = 2, c = 5.

Paso 3. Discriminante:

D = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16

El discriminante es negativo. Como no existe ningún número real cuya raíz cuadrada sea un número negativo (no hay ningún real que elevado al cuadrado dé −16), la ecuación no tiene solución real.

En la ESO y en 1º de Bachillerato, la respuesta correcta aquí es: "la ecuación no tiene solución real" (o "no tiene soluciones reales"). No te inventes números: si el discriminante sale negativo, ya has terminado y esa es la respuesta. (En cursos superiores se trabaja con números complejos, pero eso no entra todavía.)

Ejemplo 5: con fracciones (y cómo quitarlas primero)

Resolvamos (1/2)x² − x − 4 = 0.

Cuando hay fracciones, lo más cómodo es quitar denominadores multiplicando toda la ecuación por un número que los elimine. Aquí el único denominador es el 2, así que multiplicamos cada término por 2:

2·(1/2)x² − 2·x − 2·4 = 0 → x² − 2x − 8 = 0

Mucho más limpio. Ahora resolvemos esta versión equivalente:

Paso 2. a = 1, b = −2, c = −8.

Paso 3. Discriminante:

D = (−2)² − 4·1·(−8) = 4 − (−32) = 4 + 32 = 36

Paso 4. √36 = 6.

Paso 5. Fórmula:

x = (−(−2) ± 6) / (2·1) = (2 ± 6) / 2

• Con +: x₁ = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4
• Con −: x₂ = (2 − 6) / 2 = −4 / 2 = −2

Soluciones: x = 4 y x = −2.

Comprobación en la original (1/2)x² − x − 4 = 0:

• Para x = 4: (1/2)·16 − 4 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0 ✓
• Para x = −2: (1/2)·4 − (−2) − 4 = 2 + 2 − 4 = 0 ✓

Truco para recordar: multiplicar toda la ecuación por un número (distinto de cero) no cambia sus soluciones. Por eso podemos quitar las fracciones sin miedo. Lo mismo vale para simplificar: si todos los coeficientes son divisibles por un mismo número, divide y trabaja con números más pequeños. Por ejemplo, 2x² + 8x − 10 = 0 se puede dividir todo entre 2 y queda x² + 4x − 5 = 0, mucho más manejable.

El discriminante: qué es y por qué es tan útil

Ya lo has usado en todos los ejemplos, pero merece su propia sección porque es uno de los conceptos clave del tema (y aparece mucho en preguntas teóricas de examen).

El discriminante es la parte de la fórmula que está dentro de la raíz cuadrada:

D = b² − 4ac

Se llama "discriminante" porque sirve para discriminar (distinguir) cuántas soluciones tiene la ecuación, sin necesidad de resolverla del todo. Esto es muy práctico: muchas veces el examen solo te pregunta "¿cuántas soluciones tiene esta ecuación?" o "¿tiene solución?", y con calcular el discriminante ya respondes, sin hacer toda la fórmula.

La lógica es esta: en la fórmula, la raíz √D solo da un número real si D ≥ 0 (no se puede hacer la raíz de un negativo). Y el ± solo genera dos resultados distintos si esa raíz no es 0. De ahí salen los tres casos:

Tres mini-ejemplos para fijarlo:

• x² + x − 6 = 0 → D = 1² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25 > 0 → dos soluciones (que son x = 2 y x = −3).
• x² − 4x + 4 = 0 → D = (−4)² − 4·1·4 = 16 − 16 = 0 → una solución doble (x = 2).
• x² + x + 3 = 0 → D = 1² − 4·1·3 = 1 − 12 = −11 < 0 → ninguna solución real.

Consejo de examen: cuando solo te pidan cuántas soluciones hay, no resuelvas la ecuación entera. Calcula el discriminante, mira su signo y responde. Ahorras tiempo y reduces el riesgo de error.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando le falta el término en bx (es decir, b = 0) o el término independiente c (es decir, c = 0). En ambos casos puedes usar la fórmula general si quieres, pero hay atajos mucho más rápidos que conviene dominar, porque salen al instante.

Hay dos tipos (dejamos fuera el caso en que faltan los dos a la vez, ax² = 0, que es trivial: solo tiene la solución x = 0).

Vamos con cada una.

Caso c = 0: ax² + bx = 0 (factor común)

Cuando no hay término independiente, las dos partes que quedan (ax² y bx) tienen una x en común. Sacamos esa x como factor común:

ax² + bx = 0 → x·(ax + b) = 0

Ahora aplicamos una propiedad fundamental: si un producto de dos factores es igual a cero, al menos uno de los factores tiene que ser cero. Es decir, o bien x = 0, o bien (ax + b) = 0. Eso nos da las dos soluciones:

• x = 0 (siempre, este tipo de ecuación siempre tiene el 0 como solución).
• ax + b = 0 → despejamos: ax = −b → x = −b/a.

Ejemplo: resolvamos 3x² − 12x = 0.

Sacamos factor común x: x·(3x − 12) = 0.

• x = 0
• 3x − 12 = 0 → 3x = 12 → x = 12/3 = 4

Soluciones: x = 0 y x = 4.

Comprobación en 3x² − 12x = 0:

• Para x = 0: 3·0 − 12·0 = 0 ✓
• Para x = 4: 3·16 − 12·4 = 48 − 48 = 0 ✓

Error típico que debes evitar: nunca dividas toda la ecuación entre x para "simplificarla". Si lo haces, pierdes la solución x = 0 (porque estarías dividiendo entre algo que podría valer 0, lo cual no se puede). Saca factor común y conserva siempre las dos soluciones.

Caso b = 0: ax² + c = 0 (despejar la x²)

Cuando no hay término en x, simplemente despejamos x² y luego hacemos la raíz cuadrada (recordando poner el ±):

ax² + c = 0 → ax² = −c → x² = −c/a → x = ±√(−c/a)

El ± aparece porque, al hacer la raíz cuadrada, tanto un número positivo como su negativo elevados al cuadrado dan lo mismo. Por ejemplo, si x² = 9, entonces x = +3 o x = −3, porque 3² = 9 y (−3)² = 9.

Ejemplo A: resolvamos 2x² − 18 = 0.

2x² = 18 → x² = 18/2 = 9 → x = ±√9 = ±3

Soluciones: x = 3 y x = −3.

Comprobación:

• Para x = 3: 2·9 − 18 = 18 − 18 = 0 ✓
• Para x = −3: 2·9 − 18 = 0 ✓ (recuerda: (−3)² también es 9)

Ejemplo B (sin solución): resolvamos x² + 16 = 0.

x² = −16

Aquí x² tendría que ser un número negativo, y eso es imposible con números reales (un cuadrado nunca es negativo). Por tanto, no tiene solución real. Fíjate en la lógica: cuando despejas x² y sale un número negativo, no hay solución; esto es coherente con el discriminante (aquí D = 0² − 4·1·16 = −64 < 0).

Regla práctica para el caso b = 0: después de despejar x², si el resultado es positivo, hay dos soluciones (±√); si es cero, una sola (x = 0); si es negativo, ninguna real.

Resolver por factorización (y por qué las soluciones son "raíces")

Además de la fórmula general, hay otra forma de resolver ciertas ecuaciones de segundo grado: la factorización. No siempre es la más rápida, pero entenderla te da una intuición muy potente sobre qué son las soluciones.

La idea de fondo es la misma propiedad que usamos en las incompletas: un producto vale cero solo si uno de sus factores vale cero. Si conseguimos escribir la ecuación como un producto igualado a cero, leemos las soluciones de un vistazo.

Por ejemplo, x² − 5x + 6 = 0 se puede factorizar como:

(x − 2)·(x − 3) = 0

(Puedes comprobarlo multiplicando: (x − 2)(x − 3) = x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. ✓)

Y como es un producto igualado a cero, o bien (x − 2) = 0, o bien (x − 3) = 0:

• x − 2 = 0 → x = 2
• x − 3 = 0 → x = 3

¡Las mismas soluciones que obtuvimos con la fórmula en el Ejemplo 1! No es casualidad. Aquí está la idea profunda: si una ecuación de segundo grado tiene soluciones x₁ y x₂, entonces se puede escribir como a·(x − x₁)·(x − x₂) = 0. Por eso a las soluciones se las llama también raíces: son los valores que "anulan" la expresión, los que la hacen valer cero.

Esto también explica la solución doble. En el Ejemplo 3, x² − 6x + 9 = 0 se factoriza como (x − 3)·(x − 3) = (x − 3)² = 0. El factor (x − 3) aparece dos veces, así que x = 3 es raíz "dos veces": por eso decimos que es doble.

¿Cuándo usar factorización en lugar de la fórmula? Cuando las raíces son números enteros "bonitos" y las ves a simple vista, factorizar es más rápido. Si no las ves claras o hay fracciones y raíces feas, tira de la fórmula general, que nunca falla. De hecho, un buen consejo es: usa la fórmula general como método por defecto (siempre funciona) y la factorización como atajo cuando lo veas claro.

Cómo comprobar tus soluciones (no te saltes este paso)

Comprobar es lo que separa a quien saca buena nota de quien "casi" la saca. Es rapidísimo y te salva de errores tontos. La idea es simple: sustituye cada solución en la ecuación original y verifica que la igualdad se cumple (que da 0 si la ecuación estaba igualada a 0).

Ya lo hemos hecho en cada ejemplo, pero veamos el procedimiento aislado con 2x² − 5x − 3 = 0, cuyas soluciones son x = 3 y x = −1/2 (puedes resolverla tú con la fórmula como práctica; D = 25 + 24 = 49, √49 = 7).

Comprobar x = 3:

2·(3)² − 5·(3) − 3 = 2·9 − 15 − 3 = 18 − 15 − 3 = 0 ✓

Comprobar x = −1/2:

2·(−1/2)² − 5·(−1/2) − 3 = 2·(1/4) + 5/2 − 3 = 1/2 + 5/2 − 3 = 6/2 − 3 = 3 − 3 = 0 ✓

Las dos dan 0, así que las soluciones son correctas. Si alguna no diera 0, sabrías que te has equivocado en algún paso y podrías revisar antes de entregar.

Dos consejos al comprobar:

1. Sustituye siempre en la ecuación original, no en una versión que hayas manipulado (por si el error está justo en esa manipulación).
2. Cuidado con los signos al elevar al cuadrado un número negativo: (−1/2)² = +1/4, no −1/4. Un cuadrado nunca es negativo.

Errores típicos (y cómo evitarlos)

Estos son los fallos que más se repiten en los exámenes de ecuaciones de segundo grado. Conocerlos de antemano es la mejor forma de no caer en ellos.

1. No igualar a cero antes de empezar. Si la ecuación viene como x² + 3x = 10 y aplicas la fórmula con c = 10 (en vez de pasar el 10 y poner c = −10), todo sale mal. Siempre deja primero la forma ax² + bx + c = 0.

2. Equivocarse con el signo de −b. Si b = −7, entonces −b = +7, no −7. Cuando b es negativo, el −b de la fórmula se vuelve positivo. Escríbelo con paréntesis: −(−7) = 7.

3. Olvidar el ± y dar una sola solución. El ± significa dos cuentas. Si solo haces una, te dejas media respuesta (y medio punto). Acostúmbrate a escribir siempre las dos ramas.

4. Calcular mal b² con números negativos. (−5)² = +25, no −25. Elevar al cuadrado siempre da positivo. El menos no "sobrevive" al cuadrado salvo que esté fuera del paréntesis (−5² sí sería −25, pero en la fórmula es (b)² con b incluyendo su signo).

5. Liarse con el −4ac cuando hay signos. Si a o c son negativos, presta atención: restar un número negativo es sumar. Calcula 4ac con su signo aparte y luego réstalo con cuidado.

6. Dividir solo una parte entre 2a. La barra de fracción cubre todo el numerador: (−b ± √D) entero se divide entre 2a. No dividas solo el −b o solo la raíz.

7. Dividir entre x en las incompletas tipo ax² + bx = 0. Pierdes la solución x = 0. Saca factor común en vez de dividir.

8. Inventarse soluciones cuando D < 0. Si el discriminante es negativo, la respuesta es "no hay solución real". No te saques números de la manga.

9. No comprobar. Comprobar cuesta 30 segundos y caza la mayoría de estos errores. No lo saltes.

Aquí es donde un buen apoyo marca la diferencia. Profe 24/7 es un tutor con IA pensado para esto: cuando te atascas con un ejercicio, te guía con pistas en lugar de darte la solución hecha —te lleva a que igualar a cero, identifiques bien los signos y apliques tú la fórmula—, sigue el temario LOMLOE de tu curso y está disponible 24/7 para esas tardes en que te quedas bloqueado y no tienes a quién preguntar. Si te las dan en clase de Matemáticas de 4º de la ESO o de Matemáticas de 1º de Bachillerato, practicar con pistas guiadas es justo lo que automatiza el método.

Problemas con enunciado que llevan a una ecuación de segundo grado

En los exámenes no solo te ponen ecuaciones "limpias": muchas veces te dan un problema con palabras y tienes que plantear tú la ecuación. El reto suele estar más en plantearla que en resolverla. Veamos dos clásicos resueltos.

Problema de área

"Un rectángulo tiene una base que mide 3 cm más que su altura. Si su área es de 40 cm², ¿cuánto miden sus lados?"

Planteamiento. Llamamos x a la altura. Entonces la base, que mide 3 cm más, es x + 3. El área de un rectángulo es base por altura:

x·(x + 3) = 40

Lo desarrollamos y lo igualamos a cero:

x² + 3x = 40 → x² + 3x − 40 = 0

Resolvemos (a = 1, b = 3, c = −40):

D = 3² − 4·1·(−40) = 9 + 160 = 169 → √169 = 13

x = (−3 ± 13) / 2

• x₁ = (−3 + 13) / 2 = 10 / 2 = 5
• x₂ = (−3 − 13) / 2 = −16 / 2 = −8

Interpretación. La ecuación da dos soluciones matemáticas, pero x es una longitud, y una longitud no puede ser negativa. Por eso descartamos x = −8 y nos quedamos con x = 5.

Entonces la altura es 5 cm y la base es 5 + 3 = 8 cm. Comprobamos: área = 5·8 = 40 cm². ✓

Lección importante: en los problemas, a veces una de las soluciones no tiene sentido en el contexto (longitudes negativas, número de personas con decimales, etc.). Tienes que descartarla razonadamente, no simplemente borrarla. Indicar por qué la descartas suele dar puntos.

Problema de números consecutivos

"El producto de dos números enteros consecutivos es 156. ¿Qué números son?"

Planteamiento. Dos enteros consecutivos son x y x + 1. Su producto es 156:

x·(x + 1) = 156 → x² + x = 156 → x² + x − 156 = 0

Resolvemos (a = 1, b = 1, c = −156):

D = 1² − 4·1·(−156) = 1 + 624 = 625 → √625 = 25

x = (−1 ± 25) / 2

• x₁ = (−1 + 25) / 2 = 24 / 2 = 12
• x₂ = (−1 − 25) / 2 = −26 / 2 = −13

Aquí ambas soluciones son válidas (el enunciado no excluye negativos):

• Si x = 12, los números son 12 y 13 (12·13 = 156 ✓).
• Si x = −13, los números son −13 y −12 ((−13)·(−12) = 156 ✓).

Las dos parejas cumplen lo pedido. Este ejemplo muestra que no siempre hay que descartar la solución negativa: depende del contexto del problema. Lee bien el enunciado.

Relación con la parábola (los cortes con el eje X)

Esto no hace falta para resolver, pero entenderlo da una intuición que vale oro y conecta con el tema de funciones. Cada ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0 está relacionada con una función cuadrática, y = ax² + bx + c, cuya gráfica es una parábola (esa curva en forma de U).

Resolver la ecuación (es decir, encontrar dónde ax² + bx + c = 0, donde y = 0) equivale a encontrar dónde la parábola corta el eje X (porque el eje X es justamente la línea donde y = 0). Y aquí el discriminante encaja perfectamente con lo que vimos:

• D > 0 → dos soluciones → la parábola corta el eje X en dos puntos.
• D = 0 → una solución doble → la parábola toca el eje X en un solo punto (su vértice está justo sobre el eje).
• D < 0 → ninguna solución real → la parábola no toca el eje X (está toda por encima o toda por debajo).

Por eso decir "no tiene solución real" no es ningún error ni un fallo tuyo: significa que la parábola simplemente no cruza el eje X. Tiene todo el sentido geométrico. Esta conexión es una de las cosas que más ayudan a entender por qué hay 2, 1 o 0 soluciones, en lugar de aprenderlo de memoria.

Cómo estudiar y preparar este tema para el examen

Las ecuaciones de segundo grado son, como casi todas las matemáticas, una destreza procedimental: no se aprueban entendiendo la teoría una vez, se aprueban practicando hasta que el método te sale solo. Aquí tienes un plan realista.

1. Aprende la fórmula de memoria, pero entendiéndola. Escríbela varias veces hasta que te salga sin pensar: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Repasa qué significa cada trozo (lo de la sección de la fórmula). Una fórmula que entiendes se te olvida mucho menos que una que solo empollas.

2. Practica primero las completas con la fórmula. Empieza con ecuaciones de coeficientes pequeños y enteros (a = 1), y ve subiendo dificultad: coeficientes negativos, a ≠ 1, fracciones. Hazlas con el folio en blanco, sin mirar la solución.

3. Domina los atajos de las incompletas. Asegúrate de que reconoces de un vistazo cuándo b = 0 (despejar) y cuándo c = 0 (factor común). Estos suelen ser puntos rápidos y seguros en el examen.

4. Practica el discriminante por separado. Coge varias ecuaciones y, sin resolverlas, di solo cuántas soluciones tienen. Es un ejercicio rápido que afina mucho.

5. Comprueba siempre. Convierte la comprobación en un hábito automático. En el examen, te avisa de errores cuando aún estás a tiempo de corregir.

6. Haz problemas con enunciado. Son los que más cuestan porque hay que plantear. Practica traducir frases a ecuaciones (área, números, edades...) y acuérdate de descartar soluciones que no tengan sentido en el contexto.

7. Haz al menos un simulacro cronometrado antes del examen real, con ejercicios variados, para acostumbrarte al tiempo y a la presión.

Si quieres un método de fondo que va más allá de este tema concreto —cómo estudiar mates de verdad, tapar lagunas y preparar exámenes—, te recomendamos leer nuestra guía sobre cómo aprobar matemáticas, que complementa perfectamente todo esto.

Práctica recomendada: ecuaciones para resolver tú

La teoría está clara; ahora toca lo importante. Aquí tienes una tanda graduada para que practiques con el folio en blanco. Resuélvelas con la fórmula (o el atajo si es incompleta) y comprueba. Te dejo las soluciones al final para que verifiques, pero resuélvelas tú primero.

1. x² − 7x + 10 = 0
2. x² + 4x − 21 = 0
3. 2x² − 8 = 0 (incompleta, b = 0)
4. x² − 9x = 0 (incompleta, c = 0)
5. x² − 4x + 4 = 0 (¿solución doble?)
6. x² + x + 7 = 0 (¿tiene solución?)
7. 3x² − 5x − 2 = 0
8. x² − 2x − 15 = 0

Soluciones (comprueba después de intentarlo):

1. x = 5 y x = 2 — (D = 49 − 40 = 9; √9 = 3; x = (7 ± 3)/2).
2. x = 3 y x = −7 — (D = 16 + 84 = 100; √100 = 10; x = (−4 ± 10)/2).
3. x = 2 y x = −2 — (2x² = 8 → x² = 4 → x = ±2).
4. x = 0 y x = 9 — (factor común: x(x − 9) = 0).
5. x = 2 (doble) — (D = 16 − 16 = 0).
6. Sin solución real — (D = 1 − 28 = −27 < 0).
7. x = 2 y x = −1/3 — (D = 25 + 24 = 49; √49 = 7; x = (5 ± 7)/6).
8. x = 5 y x = −3 — (D = 4 + 60 = 64; √64 = 8; x = (2 ± 8)/2).

Si has acertado al menos seis de las ocho, dominas el tema. Si fallaste alguna, no pasa nada: mira dónde te equivocaste (¿un signo?, ¿el discriminante?, ¿olvidaste el ±?), corrígelo y repite ese tipo. Los errores son información, no fracasos.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el discriminante de una ecuación de segundo grado?

El discriminante es el valor b² − 4ac, es decir, la parte que está dentro de la raíz cuadrada en la fórmula general. Sirve para discriminar cuántas soluciones tiene la ecuación sin necesidad de resolverla entera: si es mayor que 0 hay dos soluciones, si es igual a 0 hay una solución doble, y si es menor que 0 no hay solución real. Es muy útil cuando el examen solo pregunta "¿cuántas soluciones tiene?", porque respondes calculando solo ese número.

¿Cuándo una ecuación de segundo grado no tiene solución?

Cuando el discriminante es negativo (b² − 4ac < 0). En ese caso, dentro de la fórmula tendrías que hacer la raíz cuadrada de un número negativo, y eso no existe entre los números reales (ningún número real elevado al cuadrado da un negativo). La respuesta correcta entonces es "no tiene solución real". Geométricamente significa que la parábola asociada no corta el eje X. En cursos superiores se resuelve con números complejos, pero eso no entra en la ESO ni en 1º de Bachillerato.

¿Se pueden resolver ecuaciones de segundo grado sin la fórmula?

Sí, en algunos casos. Las incompletas se resuelven más rápido con atajos: si falta el término independiente (ax² + bx = 0), sacas factor común x; si falta el término en x (ax² + c = 0), despejas x² y haces la raíz. Y algunas completas con raíces enteras "bonitas" se pueden resolver factorizando. Pero la fórmula general funciona siempre, con cualquier ecuación, así que si dudas, úsala: nunca falla.

¿Qué hago si el coeficiente a no es 1?

Nada especial: la fórmula general funciona igual con cualquier valor de a (mientras sea distinto de 0). Solo tienes que poner el valor correcto de a tanto en el discriminante (b² − 4ac) como en el denominador (2a). Por ejemplo, en 2x² − 7x − 4 = 0, a = 2, así que el denominador es 2·2 = 4. Un truco opcional: si todos los coeficientes son divisibles por un mismo número, divide la ecuación entera por él para que a quede más pequeña (o incluso 1), pero no es obligatorio.

¿Cómo sé si me he equivocado al resolver?

Comprobando. Sustituye cada solución en la ecuación original y verifica que la igualdad se cumple (que da 0). Si una solución no da 0, hay un error en algún paso. Las señales de alarma más típicas: un discriminante con un signo raro, olvidar el ±, o equivocarte con −b cuando b era negativo. Comprobar cuesta medio minuto y caza la mayoría de fallos antes de entregar.

¿Por qué hay dos soluciones y no una?

Porque la x está elevada al cuadrado, y elevar al cuadrado "borra" el signo: tanto un número como su opuesto dan el mismo cuadrado (3² = 9 y (−3)² = 9). Eso hace que, en general, haya dos valores de x que cumplen la ecuación. En la fórmula, esa doble posibilidad la representa el ±. Cuando el discriminante es 0, las dos posibilidades coinciden y queda una sola solución (doble); cuando es negativo, no hay ninguna real.

¿Es lo mismo "solución", "raíz" y "cero" de la ecuación?

En la práctica, sí: las tres palabras se refieren a los valores de x que hacen que la ecuación se cumpla (que la igualan a cero). Se llaman soluciones porque resuelven la ecuación, raíces porque "anulan" la expresión (la hacen valer cero), y a veces ceros de la función asociada porque son los puntos donde y = 0, es decir, donde la parábola corta el eje X. Distintos nombres, mismo concepto.

¿Qué pasa si la ecuación viene desordenada o con términos a los dos lados?

Tienes que ordenarla e igualarla a cero antes de hacer nada más. Pasa todos los términos a un lado (cambiándoles el signo al cruzar el igual), deja un 0 al otro lado y ordénala como ax² + bx + c = 0 (primero x², luego x, luego el número solo). Solo entonces identifica a, b y c con sus signos. Saltarte este paso es uno de los errores que más nota cuesta.

En un problema, ¿me quedo con las dos soluciones o con una?

Depende del contexto. Matemáticamente la ecuación puede tener dos soluciones, pero si representan algo que no puede ser negativo (una longitud, un área, un número de personas, una edad), debes descartar la que no tenga sentido y explicar por qué. En otros problemas (como números enteros que pueden ser negativos) ambas soluciones son válidas. Lee bien el enunciado y comprueba que cada solución encaja con lo que se pregunta.

¿Cómo resuelvo una ecuación de segundo grado con fracciones?

Lo más cómodo es quitar los denominadores primero: multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (o, más simple, por un número que los elimine). Como multiplicar toda la ecuación por un número distinto de cero no cambia sus soluciones, obtienes una ecuación equivalente con coeficientes enteros, mucho más fácil de manejar. Luego la resuelves con la fórmula como cualquier otra. Y al comprobar, sustituye en la ecuación original.

Conclusión

Las ecuaciones de segundo grado parecen intimidantes al principio, pero en realidad son de los temas más mecánicos y agradecidos de las matemáticas: una vez entiendes el procedimiento, casi siempre haces los mismos pasos y se convierten en puntos seguros en el examen.

Recuerda las ideas clave: deja la ecuación en la forma ax² + bx + c = 0 antes de empezar; aplica la fórmula general x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) con cuidado en los signos y sin olvidar el ±; usa el discriminante (b² − 4ac) para saber cuántas soluciones hay; resuelve las incompletas con sus atajos (factor común si c = 0, despejar si b = 0); y comprueba siempre sustituyendo. Con esos cinco hábitos, tienes el tema dominado.

Pero leer la teoría no basta: como en todas las matemáticas, lo que de verdad fija el método es resolver muchas ecuaciones tú mismo, con el folio en blanco, equivocándote y corrigiendo. Empieza por la tanda de práctica de este artículo, repite los tipos que te cuesten y verás cómo, en cuestión de días, te salen casi sin pensar.

Y si quieres practicar con un guía que te lleve a resolverlas tú —sin darte la respuesta hecha, lanzándote la pista justa para que des tú el paso, siguiendo tu curso (LOMLOE) y disponible cuando te atasques de noche—, prueba Profe 24/7 gratis. Resuelve tu primera ecuación guiada hoy y descubre que esto de las cuadráticas era mucho más fácil de lo que parecía. Y si te apetece reforzar la base general de la asignatura, échale un vistazo también a las landings de Matemáticas de 3º de la ESO y Matemáticas de 4º de la ESO.