Operaciones con fracciones: sumar, restar, multiplicar y dividir (paso a paso)

TL;DR

Una fracción representa una parte de un todo y se escribe con dos números: el de arriba es el numerador (las partes que tomas) y el de abajo es el denominador (en cuántas partes iguales se divide el todo). Las operaciones con fracciones funcionan así: para sumar fracciones o restar fracciones necesitas que tengan el mismo denominador; si no lo tienen, reduces a común denominador usando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) y luego sumas o restas solo los numeradores. Para multiplicar fracciones, multiplicas numerador por numerador y denominador por denominador. Para dividir fracciones, multiplicas en cruz (o por la fracción inversa). Y al final conviene simplificar el resultado hasta dejar la fracción irreducible.

Las fracciones aparecen en todas partes: en una receta que pide 3/4 de litro de leche, en un partido que va por el tercer cuarto, en una rebaja del 25 % (que es 1/4) o en un examen donde te dan media hora más. Por eso es uno de los contenidos que más se trabajan en Primaria alta y en los primeros cursos de la ESO, y también uno de los que más se atragantan: muchas dificultades posteriores con el álgebra, las ecuaciones o la trigonometría vienen, en realidad, de no manejar bien las fracciones.

La buena noticia es que operar con fracciones es totalmente mecánico una vez que entiendes el porqué de cada regla. No hay que memorizar trucos sueltos: hay que entender qué es una fracción y, a partir de ahí, cada operación tiene su procedimiento claro. En esta guía vamos a recorrer, paso a paso y con cálculos verificados, todo lo que necesitas: qué representa una fracción, cómo obtener fracciones equivalentes, cómo simplificar, cómo comparar, y cómo sumar, restar, multiplicar y dividir, además de problemas con enunciado, errores típicos y ejercicios resueltos.

A lo largo del artículo vas a ver que muchas operaciones tienen dos partes: una mecánica (las cuentas) y otra de comprensión (por qué se hace así). Si entiendes las dos, las fracciones dejan de dar miedo. Vamos allá.

Qué es una fracción y qué representa

Una fracción es una forma de expresar una parte de un todo cuando ese todo se ha dividido en partes iguales. Imagina una pizza cortada en 8 trozos iguales: si te comes 3, te has comido 3/8 de la pizza. El 8 indica en cuántas partes iguales se ha dividido la pizza y el 3 indica cuántas de esas partes has tomado.

Pero una fracción es más que un dibujo de tarta. Tiene tres significados que conviene tener claros desde el principio:

1. Parte de un todo. Es la idea más intuitiva: 3/8 de la pizza, 2/3 de un depósito de agua, 5/6 del camino recorrido.
2. Un cociente (una división). La fracción 3/8 también significa "3 dividido entre 8". De hecho, si haces la división 3 : 8 obtienes 0,375, que es el valor decimal de esa fracción.
3. Una razón o proporción. La fracción 3/8 expresa la relación entre dos cantidades: por cada 8 partes, 3 cumplen una condición.

Entender que una fracción es a la vez una parte, una división y una proporción te ayudará muchísimo, porque según el problema te convendrá pensarla de una manera u otra.

Los términos de una fracción

Toda fracción tiene dos términos separados por una raya horizontal:

• El numerador es el número de arriba. Indica cuántas partes tomamos.
• El denominador es el número de abajo. Indica en cuántas partes iguales se divide la unidad.

En la fracción 3/8, el numerador es 3 y el denominador es 8. Una regla útil para recordarlo: el deNOMINADOR es el que da el NOMBRE a la fracción (octavos, tercios, quintos…), porque te dice de qué tamaño son los trozos; el numerador solo los cuenta.

Una condición importante: el denominador nunca puede ser cero. Dividir entre cero no tiene sentido (no puedes partir algo en "cero partes iguales"), así que una fracción con denominador 0 no existe.

Tipos de fracciones: propias, impropias y mixtas

No todas las fracciones se comportan igual. Según la relación entre numerador y denominador, distinguimos varios tipos.

Fracción propia

Una fracción propia es aquella cuyo numerador es menor que el denominador. Su valor es menor que 1, es decir, representa menos de una unidad completa.

Ejemplos: 3/8, 2/5, 7/10. En 3/8 tienes 3 de los 8 trozos, así que tienes menos de una pizza entera.

Fracción impropia

Una fracción impropia tiene el numerador mayor o igual que el denominador. Su valor es mayor o igual que 1: representa una o más unidades completas.

Ejemplos: 9/4, 7/3, 5/5. La fracción 9/4 significa que tienes 9 cuartos, y como 4 cuartos forman una unidad, 9/4 equivale a más de dos unidades (concretamente 2 y un cuarto).

Número mixto (fracción mixta)

Un número mixto combina una parte entera y una fracción propia. Es otra forma de escribir una fracción impropia. Por ejemplo, 9/4 se puede escribir como 2 1/4 (dos enteros y un cuarto).

Para pasar de fracción impropia a número mixto, divides el numerador entre el denominador:

• El cociente es la parte entera.
• El resto es el nuevo numerador.
• El denominador se mantiene.

Veamos 9/4: divides 9 entre 4. El cociente es 2 y el resto es 1 (porque 4 × 2 = 8 y 9 − 8 = 1). Por tanto, 9/4 = 2 1/4.

Para pasar de número mixto a fracción impropia, multiplicas la parte entera por el denominador, sumas el numerador, y mantienes el denominador. Con 2 1/4: multiplicas 2 × 4 = 8, sumas 1 → 9, y mantienes el 4. Resultado: 9/4. Verificado.

Fracciones equivalentes y cómo obtenerlas

Dos fracciones son fracciones equivalentes cuando representan la misma cantidad, aunque estén escritas con números distintos. Por ejemplo, 1/2 y 2/4 son equivalentes: media pizza es lo mismo que dos cuartos de pizza.

Cómo obtener fracciones equivalentes

Hay dos formas de obtener una fracción equivalente a otra:

1. Multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número (distinto de cero).
2. Dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número (cuando ambos son divisibles).

Lo importante es que siempre haces la misma operación arriba y abajo. Si multiplicas solo el numerador, cambias el valor de la fracción; pero si multiplicas los dos términos por lo mismo, el valor se mantiene.

Ejemplo con multiplicación. Partimos de 2/3 y multiplicamos por 4:

• Numerador: 2 × 4 = 8
• Denominador: 3 × 4 = 12

Resultado: 8/12, que es equivalente a 2/3.

Ejemplo con división. Partimos de 6/9 y dividimos por 3:

• Numerador: 6 : 3 = 2
• Denominador: 9 : 3 = 3

Resultado: 2/3, equivalente a 6/9.

Cómo comprobar si dos fracciones son equivalentes

El método más rápido es la multiplicación en cruz (productos cruzados). Dos fracciones a/b y c/d son equivalentes si a × d = b × c.

Comprobemos si 2/3 y 8/12 son equivalentes:

• 2 × 12 = 24
• 3 × 8 = 24

Como ambos productos valen 24, las fracciones son equivalentes. Si los productos hubieran sido distintos, no lo serían.

Probemos otro par: ¿son equivalentes 3/4 y 5/7?

• 3 × 7 = 21
• 4 × 5 = 20

Como 21 ≠ 20, no son equivalentes.

Simplificar fracciones: hasta la fracción irreducible

Simplificar fracciones consiste en escribir una fracción con los números más pequeños posibles sin cambiar su valor. Se hace dividiendo el numerador y el denominador por un mismo factor común. Cuando ya no se puede simplificar más (porque numerador y denominador no tienen ningún divisor común salvo el 1), decimos que la fracción es irreducible.

Simplificar es importantísimo porque deja los resultados limpios y facilita compararlos. Un buen hábito: siempre que termines una operación, intenta simplificar el resultado.

Método 1: dividir poco a poco

Tomemos 18/24. Buscamos un número que divida a los dos términos. Ambos son pares, así que dividimos por 2:

• 18 : 2 = 9
• 24 : 2 = 12

Tenemos 9/12. Ahora ambos son divisibles por 3:

• 9 : 3 = 3
• 12 : 3 = 4

Tenemos 3/4. Como 3 y 4 no tienen divisores comunes (salvo 1), 3/4 es irreducible. Por tanto, 18/24 = 3/4.

Método 2: dividir por el máximo común divisor (m.c.d.)

El método más directo es dividir numerador y denominador por su máximo común divisor, el mayor número que divide a ambos. En el caso de 18 y 24:

• Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• El mayor divisor común es 6.

Dividimos por 6: 18 : 6 = 3 y 24 : 6 = 4. Resultado directo: 3/4. Con un solo paso llegas a la fracción irreducible.

Calcular el m.c.d. con la descomposición en factores primos también funciona: 18 = 2 × 3² y 24 = 2³ × 3. El m.c.d. se forma con los factores comunes elevados al menor exponente: 2 × 3 = 6.

Reducir fracciones a común denominador

Antes de sumar o restar fracciones con distinto denominador, hay que reducirlas a común denominador, es decir, transformarlas en fracciones equivalentes que compartan el mismo denominador. Para ello se usa el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.

Qué es el mínimo común múltiplo

El m.c.m. de dos o más números es el menor número que es múltiplo de todos ellos. Por ejemplo, el m.c.m. de 4 y 6:

• Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24…
• Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24…

El menor múltiplo común es 12, así que m.c.m.(4, 6) = 12.

También puedes calcularlo con factores primos: 4 = 2² y 6 = 2 × 3. El m.c.m. se forma con todos los factores (comunes y no comunes) elevados al mayor exponente: 2² × 3 = 12.

Cómo reducir a común denominador, paso a paso

Vamos a reducir 1/4 y 5/6 a común denominador.

1. Calcula el m.c.m. de los denominadores. m.c.m.(4, 6) = 12. Ese será el denominador común.
2. Para cada fracción, divide el denominador común entre el denominador original y multiplica el resultado por el numerador.
   • Para 1/4: 12 : 4 = 3, y 3 × 1 = 3 → la nueva fracción es 3/12.
   • Para 5/6: 12 : 6 = 2, y 2 × 5 = 10 → la nueva fracción es 10/12.
3. Ya tienes 3/12 y 10/12, dos fracciones equivalentes a las originales y con el mismo denominador.

Comprobación rápida: 3/12 simplificado es 1/4 (dividiendo por 3) y 10/12 simplificado es 5/6 (dividiendo por 2). Todo cuadra.

Comparar fracciones: cuál es mayor

Comparar fracciones sirve para decidir cuál representa una cantidad mayor. Hay tres situaciones.

Mismo denominador

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tenga el numerador mayor, porque los trozos son del mismo tamaño y solo cambia cuántos tomas. Por ejemplo, 5/8 > 3/8.

Mismo numerador

Si tienen el mismo numerador, es mayor la que tenga el denominador menor. Esto sorprende a mucha gente, pero tiene lógica: cuanto mayor es el denominador, más pequeños son los trozos. Así, 3/4 > 3/8, porque los cuartos son trozos más grandes que los octavos.

Distinto numerador y denominador

Aquí tienes dos opciones. La primera es reducir a común denominador y comparar los numeradores. La segunda, más rápida, es la multiplicación en cruz.

Comparemos 3/4 y 5/7 con productos cruzados. Multiplicamos en aspa, asociando cada producto con el numerador "de arriba":

• 3 × 7 = 21 (asociado a 3/4)
• 5 × 4 = 20 (asociado a 5/7)

Como 21 > 20, la fracción 3/4 es mayor que 5/7. Es decir, 3/4 > 5/7.

Cómo sumar y restar fracciones con el mismo denominador

Empezamos por el caso más sencillo. Para sumar fracciones o restar fracciones que tienen el mismo denominador, solo tienes que sumar (o restar) los numeradores y dejar el mismo denominador. El denominador no cambia porque los trozos ya son del mismo tamaño.

Regla en una frase: mismo denominador → operas los numeradores y mantienes el denominador.

Ejemplo de suma

Calculemos 2/7 + 3/7:

• Numeradores: 2 + 3 = 5
• Denominador: 7 (se mantiene)

Resultado: 5/7. Como 5 y 7 no tienen divisores comunes, ya es irreducible.

Ejemplo de resta

Calculemos 5/9 − 2/9:

• Numeradores: 5 − 2 = 3
• Denominador: 9 (se mantiene)

Resultado: 3/9. Ojo: hay que simplificar. Dividiendo numerador y denominador por 3: 3/9 = 1/3.

Este último ejemplo deja clara una idea clave: aunque la suma o la resta sea fácil, el resultado casi siempre conviene simplificarlo.

Cómo sumar fracciones con distinto denominador

Este es el caso que más se pregunta: cómo sumar fracciones cuando los denominadores son distintos. La regla es: no puedes sumar trozos de distinto tamaño, así que primero hay que igualar los denominadores reduciendo a común denominador con el m.c.m.

El procedimiento, paso a paso, es:

1. Calcula el m.c.m. de los denominadores: será el denominador común.
2. Convierte cada fracción en otra equivalente con ese denominador común (divides el común entre el denominador y multiplicas por el numerador).
3. Suma los numeradores y deja el denominador común.
4. Simplifica el resultado si se puede.

Ejemplo clásico: 1/2 + 1/3

1. m.c.m.(2, 3) = 6.
2. Convertimos:
   • 1/2 → 6 : 2 = 3, y 3 × 1 = 3 → 3/6
   • 1/3 → 6 : 3 = 2, y 2 × 1 = 2 → 2/6
3. Sumamos numeradores: 3 + 2 = 5. Denominador: 6.
4. Resultado: 5/6, que ya es irreducible.

Por tanto, 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Esta es la operación que más se equivoca: mucha gente escribe 1/2 + 1/3 = 2/5 sumando numeradores y denominadores, y eso es incorrecto. La forma correcta da 5/6.

Otro ejemplo: 1/4 + 5/6

1. m.c.m.(4, 6) = 12.
2. Convertimos:
   • 1/4 → 12 : 4 = 3, y 3 × 1 = 3 → 3/12
   • 5/6 → 12 : 6 = 2, y 2 × 5 = 10 → 10/12
3. Sumamos: 3 + 10 = 13. Denominador: 12.
4. Resultado: 13/12. Es una fracción impropia (vale más de 1). Como número mixto sería 1 1/12.

Suma con un número entero

Para sumar una fracción y un número entero, conviertes el entero en fracción con el mismo denominador. Por ejemplo, 2 + 3/5: como 2 = 10/5, entonces 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5.

Cómo restar fracciones con distinto denominador

Restar fracciones con distinto denominador sigue exactamente los mismos pasos que la suma, cambiando la suma de numeradores por una resta. Resumimos:

1. Calcula el m.c.m. de los denominadores.
2. Convierte cada fracción a su equivalente con el denominador común.
3. Resta los numeradores y deja el denominador común.
4. Simplifica si es posible.

Ejemplo: 5/6 − 1/4

1. m.c.m.(6, 4) = 12.
2. Convertimos:
   • 5/6 → 12 : 6 = 2, y 2 × 5 = 10 → 10/12
   • 1/4 → 12 : 4 = 3, y 3 × 1 = 3 → 3/12
3. Restamos: 10 − 3 = 7. Denominador: 12.
4. Resultado: 7/12, irreducible.

Ejemplo: 3/4 − 2/3

1. m.c.m.(4, 3) = 12.
2. Convertimos:
   • 3/4 → 12 : 4 = 3, y 3 × 3 = 9 → 9/12
   • 2/3 → 12 : 3 = 4, y 4 × 2 = 8 → 8/12
3. Restamos: 9 − 8 = 1. Denominador: 12.
4. Resultado: 1/12.

Ejemplo con resultado negativo

Si el primer numerador es menor que el segundo, el resultado es negativo. Por ejemplo, 1/3 − 1/2:

1. m.c.m.(3, 2) = 6.
2. 1/3 → 2/6 y 1/2 → 3/6.
3. 2 − 3 = −1. Resultado: −1/6.

No hay nada raro: simplemente has restado una cantidad mayor de una menor, así que el resultado queda por debajo de cero.

Cómo multiplicar fracciones

Multiplicar fracciones es, sorprendentemente, más fácil que sumarlas: no hace falta común denominador. La regla es directa:

Para multiplicar fracciones, se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

En símbolos: (a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d).

Ejemplo básico: 2/3 × 4/5

• Numeradores: 2 × 4 = 8
• Denominadores: 3 × 5 = 15

Resultado: 8/15, irreducible.

Ejemplo con simplificación final: 3/4 × 2/9

• Numeradores: 3 × 2 = 6
• Denominadores: 4 × 9 = 36

Resultado: 6/36. Simplificamos dividiendo por 6: 1/6.

Truco: simplificar antes de multiplicar (simplificación en cruz)

Puedes simplificar antes de multiplicar, cancelando un factor de un numerador con un factor de un denominador. En 3/4 × 2/9: el 3 (numerador) y el 9 (denominador) son divisibles por 3 → 3 pasa a 1 y 9 pasa a 3; el 2 (numerador) y el 4 (denominador) son divisibles por 2 → 2 pasa a 1 y 4 pasa a 2. Queda (1/2) × (1/3) = 1/6. Mismo resultado, pero con números más pequeños.

Multiplicar una fracción por un número entero

Un número entero se puede escribir como fracción con denominador 1. Así, 5 × 2/3 = 5/1 × 2/3 = 10/3. En la práctica, multiplicas el entero por el numerador y dejas el denominador: 5 × 2/3 = 10/3.

Qué significa multiplicar fracciones

Multiplicar por una fracción equivale a calcular "una fracción de" algo. Por ejemplo, 1/2 × 1/3 significa "la mitad de un tercio", que es 1/6. Por eso al multiplicar dos fracciones propias el resultado es más pequeño que cada una: estás tomando una parte de una parte.

Cómo dividir fracciones

Dividir fracciones tiene dos métodos equivalentes: la multiplicación en cruz y la multiplicación por la inversa. Ambos dan el mismo resultado; elige el que prefieras.

Método 1: multiplicar en cruz

Para dividir a/b entre c/d, multiplicas en cruz: el numerador del resultado es a × d y el denominador es b × c.

(a/b) : (c/d) = (a × d) / (b × c)

Ejemplo, 2/3 : 4/5:

• Numerador: 2 × 5 = 10
• Denominador: 3 × 4 = 12

Resultado: 10/12. Simplificamos dividiendo por 2: 5/6.

Método 2: multiplicar por la inversa

La fracción inversa (o recíproca) de c/d es d/c: se intercambian numerador y denominador. Dividir entre una fracción es lo mismo que multiplicar por su inversa:

(a/b) : (c/d) = (a/b) × (d/c)

Con el mismo ejemplo, 2/3 : 4/5 = 2/3 × 5/4 = (2 × 5) / (3 × 4) = 10/12 = 5/6. Idéntico resultado, como tenía que ser.

Ejemplo: 3/8 : 1/2

Por la inversa: 3/8 × 2/1 = 6/8. Simplificamos dividiendo por 2: 3/4.

Comprobación con la regla en cruz: 3 × 2 = 6 y 8 × 1 = 8 → 6/8 = 3/4. Coincide.

Dividir una fracción entre un entero (y al revés)

• Una fracción entre un entero: 2/3 : 4 = 2/3 : 4/1 = 2/3 × 1/4 = 2/12 = 1/6.
• Un entero entre una fracción: 6 : 2/3 = 6/1 × 3/2 = 18/2 = 9.

Fíjate en algo curioso: al dividir entre una fracción menor que 1, el resultado es mayor que el número de partida (6 : 2/3 = 9). Tiene sentido: "¿cuántos tercios de dos caben en 6?" caben más de 6.

Resumen de las operaciones con fracciones (tabla)

Esta tabla reúne las cuatro operaciones con fracciones con su regla y un ejemplo verificado.

Y esta segunda tabla resume las herramientas auxiliares que necesitas para operar.

Fracción de un número y relación con los porcentajes

Calcular la fracción de un número es una de las aplicaciones más útiles. Para hallar, por ejemplo, 3/4 de 200, tienes dos caminos equivalentes:

1. Dividir y multiplicar. Divides el número entre el denominador y multiplicas por el numerador: 200 : 4 = 50, y 50 × 3 = 150.
2. Multiplicar la fracción por el número. 3/4 × 200 = (3 × 200) / 4 = 600/4 = 150.

Ambos dan 150, como tenía que ser.

Fracciones y porcentajes

Un porcentaje no es más que una fracción con denominador 100. Por eso muchas fracciones tienen su porcentaje "estrella":

• 1/2 = 50/100 = 50 %
• 1/4 = 25/100 = 25 %
• 3/4 = 75/100 = 75 %
• 1/5 = 20/100 = 20 %
• 1/10 = 10/100 = 10 %

Así, calcular "el 25 % de 200" es exactamente lo mismo que calcular "1/4 de 200", que da 50. Saber pasar de fracción a porcentaje (y viceversa) te ahorra mucho trabajo en problemas de rebajas, impuestos y estadísticas. Si quieres profundizar en proporciones y repartos, te será muy útil dominar la regla de tres paso a paso, que se apoya en las mismas ideas de equivalencia entre fracciones.

Operaciones combinadas con fracciones: la jerarquía

Cuando una expresión mezcla varias operaciones con fracciones, hay que respetar la jerarquía de las operaciones, el mismo orden que con los números enteros:

1. Primero, lo que esté dentro de paréntesis.
2. Después, multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
3. Por último, sumas y restas (de izquierda a derecha).

Ejemplo resuelto: 1/2 + 1/3 × 3/4

Como la multiplicación va antes que la suma, empezamos por 1/3 × 3/4:

• 1/3 × 3/4 = (1 × 3) / (3 × 4) = 3/12 = 1/4.

Ahora la expresión queda 1/2 + 1/4. Reducimos a común denominador (m.c.m. de 2 y 4 = 4):

• 1/2 = 2/4.
• 2/4 + 1/4 = 3/4.

Resultado final: 3/4. Si por error hubieras sumado 1/2 + 1/3 primero, habrías llegado a un resultado distinto y equivocado.

Ejemplo con paréntesis: (1/2 + 1/3) × 3/5

Aquí el paréntesis manda. Primero 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Después multiplicamos:

• 5/6 × 3/5 = (5 × 3) / (6 × 5) = 15/30 = 1/2.

Resultado: 1/2.

Pasar fracciones a decimales y viceversa

Toda fracción se puede escribir como número decimal y, a la inversa, muchos decimales se pueden escribir como fracción.

De fracción a decimal

Como una fracción es una división, basta con dividir el numerador entre el denominador:

• 3/4 = 3 : 4 = 0,75
• 1/2 = 1 : 2 = 0,5
• 1/8 = 1 : 8 = 0,125
• 1/3 = 1 : 3 = 0,333… (decimal periódico)

Algunas fracciones dan un decimal exacto (como 0,75) y otras dan un decimal periódico, en el que una o varias cifras se repiten indefinidamente (como 0,333… en 1/3).

De decimal a fracción

Para un decimal exacto, escribes las cifras decimales sobre la potencia de 10 correspondiente y simplificas:

• 0,75 = 75/100 = 3/4 (dividiendo por 25).
• 0,2 = 2/10 = 1/5 (dividiendo por 2).
• 0,125 = 125/1000 = 1/8 (dividiendo por 125).

La idea: si hay una cifra decimal, divides entre 10; si hay dos, entre 100; si hay tres, entre 1000, y simplificas el resultado.

Problemas con fracciones resueltos

Las fracciones cobran sentido cuando resuelves problemas reales. Aquí tienes varios con enunciado, resueltos paso a paso.

Problema 1: la pizza compartida

Marta se come 2/8 de una pizza y su hermano se come 3/8. ¿Qué fracción de pizza han comido entre los dos? ¿Qué fracción queda?

Sumamos las dos fracciones (mismo denominador): 2/8 + 3/8 = 5/8. Han comido 5/8 de la pizza. Lo que queda es la pizza entera (8/8) menos lo comido: 8/8 − 5/8 = 3/8. Quedan tres octavos.

Problema 2: el depósito de agua

Un depósito está lleno hasta 3/5 de su capacidad. Se gasta 1/4 del total. ¿Qué fracción del depósito queda con agua?

Restamos 3/5 − 1/4. m.c.m.(5, 4) = 20:

• 3/5 = 12/20.
• 1/4 = 5/20.
• 12/20 − 5/20 = 7/20.

Queda 7/20 del depósito con agua.

Problema 3: los caramelos

Juan tiene 24 caramelos y regala 3/8 de ellos. ¿Cuántos caramelos regala? ¿Cuántos le quedan?

Calculamos 3/8 de 24: 24 : 8 = 3, y 3 × 3 = 9. Regala 9 caramelos. Le quedan 24 − 9 = 15 caramelos.

Problema 4: la receta a la mitad

Una receta necesita 2/3 de taza de azúcar, pero quieres hacer solo la mitad. ¿Cuánta azúcar usas?

Calculamos la mitad de 2/3, es decir, 1/2 × 2/3 = (1 × 2) / (2 × 3) = 2/6 = 1/3. Usas 1/3 de taza de azúcar.

Problema 5: el reparto del trabajo

Tres amigos pintan una valla. El primero pinta 1/3, el segundo 1/4. ¿Qué fracción de la valla pinta el tercero, si entre los tres la pintan entera?

La valla entera es 1 (= 12/12). Sumamos lo de los dos primeros, con m.c.m.(3, 4) = 12:

• 1/3 = 4/12.
• 1/4 = 3/12.
• 4/12 + 3/12 = 7/12.

El tercero pinta lo que falta: 12/12 − 7/12 = 5/12 de la valla.

Errores típicos al operar con fracciones

Conocer los fallos más habituales te ahorra muchos puntos en los exámenes. Estos son los más frecuentes:

1. Sumar numeradores y denominadores directamente. Es el error estrella: escribir 1/2 + 1/3 = 2/5. Mal. Hay que reducir a común denominador: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
2. Buscar común denominador para multiplicar. En la multiplicación no hace falta común denominador; se multiplica directamente numerador por numerador y denominador por denominador.
3. No simplificar el resultado. Dejar 6/8 cuando lo correcto es entregar 3/4. Aunque 6/8 vale lo mismo, en los exámenes se suele exigir la fracción irreducible.
4. Invertir la fracción equivocada al dividir. Para dividir a/b : c/d, se invierte la segunda fracción (c/d → d/c), no la primera.
5. Olvidar la jerarquía en operaciones combinadas. Sumar antes de multiplicar cuando no hay paréntesis. Recuerda: primero multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas.
6. Multiplicar solo arriba o solo abajo al buscar equivalentes. Para obtener una fracción equivalente debes multiplicar (o dividir) numerador y denominador por el mismo número.

Ejercicios resueltos variados

Para afianzar, aquí tienes una batería de ejercicios con la solución detallada. Tápalos, intenta hacerlos y comprueba después.

Ejercicio 1: suma con distinto denominador

Calcula 2/5 + 1/3.

m.c.m.(5, 3) = 15. Convertimos: 2/5 = 6/15 y 1/3 = 5/15. Sumamos: 6/15 + 5/15 = 11/15 (irreducible).

Ejercicio 2: resta con distinto denominador

Calcula 7/8 − 1/2.

m.c.m.(8, 2) = 8. Convertimos: 1/2 = 4/8. Restamos: 7/8 − 4/8 = 3/8 (irreducible).

Ejercicio 3: multiplicación

Calcula 4/9 × 3/8.

Numeradores: 4 × 3 = 12. Denominadores: 9 × 8 = 72. Resultado: 12/72. Simplificamos dividiendo por 12: 1/6.

Ejercicio 4: división

Calcula 5/6 : 2/3.

Multiplicamos por la inversa: 5/6 × 3/2 = (5 × 3) / (6 × 2) = 15/12. Simplificamos dividiendo por 3: 5/4.

Ejercicio 5: operación combinada

Calcula 2/3 − 1/6 × 2.

Primero la multiplicación: 1/6 × 2 = 2/6 = 1/3. Ahora 2/3 − 1/3 = 1/3.

Ejercicio 6: fracción de un número

Calcula 5/6 de 180.

180 : 6 = 30, y 30 × 5 = 150.

Ejercicio 7: simplificar

Simplifica 45/60 hasta la fracción irreducible.

El m.c.d. de 45 y 60 es 15. Dividimos: 45 : 15 = 3 y 60 : 15 = 4. Resultado: 3/4.

Ejercicio 8: comparar

¿Qué es mayor, 4/7 o 5/9?

Multiplicación en cruz: 4 × 9 = 36 (asociado a 4/7) y 5 × 7 = 35 (asociado a 5/9). Como 36 > 35, 4/7 es mayor que 5/9.

Ejercicio 9: número mixto

Escribe 17/5 como número mixto.

17 : 5 = 3, resto 2 (porque 5 × 3 = 15 y 17 − 15 = 2). Resultado: 3 2/5.

Ejercicio 10: problema

En una clase de 30 alumnos, 2/5 son chicas. ¿Cuántas chicas hay?

2/5 de 30: 30 : 5 = 6, y 6 × 2 = 12 chicas.

Cómo practicar fracciones con un tutor que no te da la solución hecha

La única forma de dominar las operaciones con fracciones es practicar muchos ejercicios y, sobre todo, entender por qué te equivocas cuando fallas. Ahí es donde un tutor marca la diferencia: no necesitas que alguien te dé la respuesta, sino que te haga la pregunta correcta para que la encuentres tú.

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Y si lo que buscas es una estrategia más amplia para mejorar tus notas, te recomendamos leer cómo aprobar matemáticas, con hábitos de estudio que complementan la práctica de cálculo.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se suman dos fracciones con distinto denominador?

Para sumar fracciones con distinto denominador, primero reduces ambas a común denominador usando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, conviertes cada fracción en su equivalente con ese denominador común, sumas los numeradores y mantienes el denominador. Por ejemplo, 1/2 + 1/3: el m.c.m. de 2 y 3 es 6, así que 1/2 = 3/6 y 1/3 = 2/6, y la suma es 3/6 + 2/6 = 5/6. Por último, simplifica el resultado si es posible.

¿Por qué no se puede sumar 1/2 + 1/3 = 2/5?

Porque al sumar fracciones no se suman los denominadores: el denominador indica el tamaño de los trozos, y no puedes sumar trozos de distinto tamaño. Sumar numeradores y denominadores directamente da un resultado falso. Lo correcto es igualar primero los denominadores: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Una forma de comprobarlo es con decimales: 1/2 = 0,5 y 1/3 = 0,333…, su suma es 0,833…, que coincide con 5/6 (0,833…), no con 2/5 (0,4).

¿Cómo se multiplican las fracciones?

Para multiplicar fracciones, multiplicas numerador por numerador y denominador por denominador, sin necesidad de buscar común denominador. Por ejemplo, 2/3 × 4/5 = (2 × 4) / (3 × 5) = 8/15. Si el resultado se puede simplificar, lo simplificas hasta dejar la fracción irreducible. También puedes simplificar antes de multiplicar, cancelando factores comunes entre un numerador y un denominador, para trabajar con números más pequeños.

¿Cómo se dividen las fracciones?

Para dividir fracciones tienes dos métodos equivalentes. El primero es multiplicar en cruz: el numerador del resultado es el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador es el denominador de la primera por el numerador de la segunda. El segundo es multiplicar por la inversa de la segunda fracción (intercambiando su numerador y denominador). Por ejemplo, 2/3 : 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6. Ambos métodos dan el mismo resultado.

¿Qué significa simplificar una fracción?

Simplificar una fracción es escribirla con los números más pequeños posibles sin cambiar su valor, dividiendo el numerador y el denominador por un factor común. Cuando ya no se puede dividir más (porque no comparten ningún divisor salvo el 1), la fracción es irreducible. Por ejemplo, 18/24 se simplifica dividiendo ambos términos por 6 y queda 3/4. Conviene simplificar siempre el resultado final de cualquier operación.

¿Qué son las fracciones equivalentes?

Las fracciones equivalentes son fracciones que representan la misma cantidad aunque estén escritas con números diferentes, como 1/2 y 2/4. Para obtener una equivalente, multiplicas o divides numerador y denominador por el mismo número distinto de cero. Para comprobar si dos fracciones son equivalentes, usas la multiplicación en cruz: a/b y c/d son equivalentes si a × d = b × c. Por ejemplo, 2/3 y 8/12 lo son porque 2 × 12 = 24 y 3 × 8 = 24.

¿Cómo se calcula la fracción de un número?

Para calcular la fracción de un número, divides el número entre el denominador y multiplicas el resultado por el numerador. Por ejemplo, 3/4 de 200: 200 : 4 = 50, y 50 × 3 = 150. También puedes verlo como una multiplicación: 3/4 × 200 = 600/4 = 150. Esto está muy relacionado con los porcentajes, ya que un porcentaje es una fracción con denominador 100 (por ejemplo, 1/4 equivale al 25 %).

¿Qué es una fracción impropia y cómo se pasa a número mixto?

Una fracción impropia tiene el numerador mayor o igual que el denominador, así que su valor es mayor o igual que 1. Para pasarla a número mixto, divides el numerador entre el denominador: el cociente es la parte entera, el resto es el nuevo numerador y el denominador se mantiene. Por ejemplo, 9/4: 9 : 4 da cociente 2 y resto 1, así que 9/4 = 2 1/4 (dos enteros y un cuarto).

¿Cómo sé cuál de dos fracciones es mayor?

Si tienen el mismo denominador, es mayor la del numerador mayor. Si tienen el mismo numerador, es mayor la del denominador menor (trozos más grandes). Si son distintas en ambos términos, usa la multiplicación en cruz: para comparar 3/4 y 5/7, calculas 3 × 7 = 21 y 5 × 4 = 20; como el producto asociado a 3/4 (21) es mayor, 3/4 > 5/7. Otra opción es reducir ambas a común denominador y comparar los numeradores.

¿Cómo se pasa una fracción a decimal?

Como una fracción es una división, para pasarla a decimal divides el numerador entre el denominador. Por ejemplo, 3/4 = 3 : 4 = 0,75, y 1/2 = 0,5. Algunas fracciones dan un decimal exacto y otras un decimal periódico, en el que una o varias cifras se repiten indefinidamente, como 1/3 = 0,333… Para volver de un decimal exacto a fracción, escribes las cifras decimales sobre la potencia de 10 correspondiente y simplificas (por ejemplo, 0,75 = 75/100 = 3/4).

Conclusión

Las operaciones con fracciones dejan de ser un misterio en cuanto entiendes la lógica de cada regla. Recuerda las ideas clave: una fracción es una parte de un todo (y también una división); para sumar y restar necesitas el mismo denominador, que consigues con el mínimo común múltiplo; para multiplicar vas directo, numerador por numerador y denominador por denominador; para dividir multiplicas por la inversa (o en cruz); y siempre, siempre, simplificas el resultado hasta la fracción irreducible. Con esos cinco principios y un poco de práctica, las fracciones pasan de ser un obstáculo a ser una herramienta más.

Lo que marca la diferencia es practicar con ejercicios variados y entender tus propios errores. Si quieres reforzarlo con un tutor que te guía con pistas y nunca te da la solución hecha, que sigue el temario LOMLOE y está disponible 24/7, prueba Profe 24/7 gratis y resuelve tus dudas de fracciones en el momento en que aparecen.