La regla de tres: cómo hacerla paso a paso (directa, inversa y compuesta)

TL;DR

La regla de tres es un método para hallar un valor desconocido relacionando dos magnitudes proporcionales, partiendo de tres datos que sí conoces. Si 3 manzanas cuestan 1,50 €, ¿cuánto cuestan 5? Eso es una regla de tres. Hay dos tipos principales: la regla de tres directa (cuando una magnitud sube, la otra también sube: más manzanas, más dinero) y la regla de tres inversa (cuando una sube, la otra baja: más obreros, menos días). Para resolverla colocas los datos en una tabla y multiplicas en cruz (en la directa) o multiplicas en línea (en la inversa). La regla de tres compuesta usa tres o más magnitudes a la vez. Se usa a diario: precios, recetas, descuentos, mapas y, sobre todo, porcentajes (un porcentaje no es más que una regla de tres).

La regla de tres es, probablemente, la herramienta matemática que más vas a usar en tu vida fuera del instituto. Calcular el precio de algo "por unidad", saber cuánto pagas en las rebajas, ajustar una receta para más comensales, leer la escala de un mapa o cambiar euros a otra moneda: todo eso son reglas de tres. Por eso, si la dominas bien ahora, te ahorrarás dolores de cabeza durante el resto de tu vida.

Y la buena noticia es que, una vez entiendes la lógica que hay detrás, es de las cosas más fáciles y agradecidas de las matemáticas. No hay que memorizar fórmulas raras: solo entender qué es una proporción, distinguir si es directa o inversa (con una sola pregunta) y aplicar un procedimiento de tres pasos. En esta guía vamos a ir despacio, con muchísimos ejemplos resueltos y comprobados, para que termines sabiendo hacer cualquier regla de tres sin equivocarte.

No necesitas que se te den bien las matemáticas. Necesitas entender el procedimiento y practicarlo. Vamos a ello.

Qué es la regla de tres

La regla de tres es un procedimiento que sirve para calcular un valor desconocido cuando conocemos otros tres valores y sabemos que las dos magnitudes implicadas están relacionadas de forma proporcional.

Se llama "regla de tres" precisamente porque partes de tres datos conocidos para hallar el cuarto, que es la incógnita (la llamamos x). Tienes cuatro cantidades en total: tres que conoces y una que buscas.

Vamos con el ejemplo más sencillo del mundo. Imagina que en la frutería:

3 manzanas cuestan 1,50 €. ¿Cuánto cuestan 5 manzanas?

Aquí hay dos magnitudes: el número de manzanas y el precio. Y tienes tres datos: 3 manzanas, 1,50 € y 5 manzanas. Lo que no conoces (la x) es el precio de las 5 manzanas. Eso es una regla de tres.

La idea clave es que las dos magnitudes guardan una relación constante: cada manzana cuesta lo mismo. Si conoces el precio de 3, puedes deducir el de 5 (o el de 7, o el de 100). La regla de tres es la "máquina" que hace ese cálculo de forma ordenada para que no te equivoques.

A lo largo del artículo vas a ver que casi cualquier problema de la vida real que tenga la forma "si esto cuesta/tarda/pesa esto, ¿cuánto cuesta/tarda/pesa aquello?" se resuelve con una regla de tres. Por eso merece tanto la pena aprenderla bien.

Qué es una magnitud y qué es una proporción

Antes de resolver nada, conviene entender dos palabras que vas a usar todo el rato: magnitud y proporción.

Magnitud

Una magnitud es cualquier cosa que se puede medir o contar: el número de manzanas, el precio en euros, los kilómetros recorridos, las horas trabajadas, los litros de agua, el número de obreros... En una regla de tres siempre intervienen al menos dos magnitudes (en la compuesta, tres o más).

Razón y proporción

Una razón es la comparación entre dos cantidades mediante una división. Por ejemplo, si 3 manzanas cuestan 1,50 €, la razón entre precio y manzanas es 1,50 ÷ 3 = 0,50 € por manzana.

Una proporción es una igualdad entre dos razones. Decir que "3 manzanas son a 1,50 € como 5 manzanas son a x euros" es plantear una proporción. Se escribe así:

3 / 1,50 = 5 / x

Una proporción tiene una propiedad fundamental que es la base de toda la regla de tres: el producto de los extremos es igual al producto de los medios (lo que se conoce como "multiplicar en cruz"). Lo veremos en detalle, pero quédate con esta idea: resolver una regla de tres es, en el fondo, resolver una proporción.

Magnitudes directamente e inversamente proporcionales

Aquí está el concepto más importante de todo el artículo. Dos magnitudes pueden estar relacionadas de dos maneras distintas, y de ello depende todo el procedimiento.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra aumenta en la misma proporción (y al disminuir una, la otra disminuye).

• Si compras el doble de manzanas, pagas el doble de dinero.
• Si recorres el triple de distancia a la misma velocidad, tardas el triple de tiempo.
• Si una receta para 4 personas necesita 200 g de harina, para 8 personas (el doble) necesitarás 400 g (el doble).

La señal inequívoca: más → más y menos → menos. Su producto cruzado se mantiene, y el cociente entre ambas magnitudes es constante (en las manzanas, siempre 0,50 €/manzana).

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción (y al disminuir una, la otra aumenta).

• Si pones el doble de obreros a hacer un muro, tardan la mitad de tiempo.
• Si vas al doble de velocidad, tardas la mitad de tiempo en llegar.
• Si repartes una herencia fija entre el doble de herederos, cada uno recibe la mitad.

La señal inequívoca: más → menos y menos → más. Aquí lo que se mantiene constante es el producto de las dos magnitudes (obreros × días = trabajo total constante).

Distinguir entre estos dos casos es lo único que de verdad tienes que pensar en cada problema. Si aciertas si es directa o inversa, el resto es mecánico. Por eso le vamos a dedicar una sección entera a "la pregunta clave".

Cómo plantear los datos: la tabla con la incógnita

Antes de empezar a resolver, hay un hábito que te va a evitar el 90 % de los errores: colocar siempre los datos en una tabla ordenada, con cada magnitud en su columna y la incógnita (x) en su sitio.

La regla de oro es esta: en la misma columna van los datos de la misma magnitud, y en la misma fila van los datos que "van juntos".

Volvamos a las manzanas: 3 manzanas cuestan 1,50 €, ¿cuánto cuestan 5?. La tabla queda así:

Fíjate en cómo está montada:

• Columna izquierda: la magnitud "manzanas" (3 y 5).
• Columna derecha: la magnitud "precio" (1,50 y x).
• Primera fila: los datos que van juntos (3 manzanas ↔ 1,50 €).
• Segunda fila: 5 manzanas ↔ x € (lo que buscamos).

Este orden no es un capricho. Cuando los datos están bien colocados, el procedimiento (multiplicar en cruz o en línea) sale solo. La mayoría de los fallos en reglas de tres no son de cálculo, sino de haber colocado mal los datos. Así que tómate siempre dos segundos para hacer la tabla.

La regla de tres directa, paso a paso

Empezamos por la más frecuente. La regla de tres directa se usa cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales (más → más).

El método, paso a paso, es siempre el mismo:

1. Identifica las dos magnitudes y comprueba que la relación es directa (si una sube, la otra sube).
2. Coloca los datos en la tabla, con la x en su sitio.
3. Multiplica en cruz: multiplica los dos datos que están "en diagonal" respecto a la x.
4. Divide ese resultado entre el dato que está "enfrente" de la x (en su misma fila o columna, según cómo lo plantees).

Vamos a verlo con la fórmula y luego con ejemplos. Si la tabla es:

Como es directa, se cumple la proporción a / b = c / x, y al despejar la x:

x = (b · c) / a

Es decir: multiplicas los dos números que están en diagonal con la x (b y c) y divides entre el que queda (a). A esto se le llama coloquialmente "multiplicar en cruz y dividir entre el de arriba".

Ejemplo 1: el precio de las manzanas

3 manzanas cuestan 1,50 €. ¿Cuánto cuestan 5 manzanas?

Paso 1. Magnitudes: manzanas y precio. ¿Es directa? Más manzanas → más dinero. Sí, directa.

Paso 2. Tabla:

Paso 3 y 4. Multiplico en cruz (los que están en diagonal con la x: 5 y 1,50) y divido entre el que queda (3):

x = (5 · 1,50) / 3 = 7,50 / 3 = 2,50 €

Resultado: 5 manzanas cuestan 2,50 €. ¿Tiene sentido? 5 manzanas son más que 3, así que deben costar más que 1,50 €. Y 2,50 € es más que 1,50 €. ✓ Perfecto.

Ejemplo 2: distancia y tiempo (velocidad constante)

Un coche recorre 120 km en 1,5 horas a velocidad constante. ¿Cuánto tardará en recorrer 200 km?

Paso 1. Magnitudes: kilómetros y horas. ¿Más km → más tiempo? Sí (mismo velocidad). Directa.

Paso 2. Tabla:

Paso 3 y 4. En diagonal con la x están 200 y 1,5; divido entre 120:

x = (200 · 1,5) / 120 = 300 / 120 = 2,5 horas

Resultado: tardará 2,5 horas (2 horas y 30 minutos). Comprobación: 200 km es más que 120 km, así que tardará más de 1,5 h. Y 2,5 h es más que 1,5 h. ✓

Ejemplo 3: una receta de cocina

Una receta de bizcocho para 6 personas lleva 300 g de azúcar. ¿Cuánto azúcar necesito para 10 personas?

Paso 1. Magnitudes: personas y gramos de azúcar. Más personas → más azúcar. Directa.

Paso 2. Tabla:

Paso 3 y 4. En diagonal con la x: 10 y 300; divido entre 6:

x = (10 · 300) / 6 = 3000 / 6 = 500 g

Resultado: 500 g de azúcar. Comprobación: para más personas, más azúcar; 500 g > 300 g. ✓

Ejemplo 4: cuando el dato baja

Si 8 cuadernos cuestan 12 €, ¿cuánto cuestan 3 cuadernos?

Aquí pasamos de 8 a 3 (la cantidad baja). En una directa, si baja una magnitud, baja la otra, así que el precio debe salir menor que 12 €.

x = (3 · 12) / 8 = 36 / 8 = 4,50 €

Resultado: 4,50 €. Comprobación: menos cuadernos → menos dinero; 4,50 € < 12 €. ✓

Fíjate en que el procedimiento es idéntico tanto si subes como si bajas. La dirección de la flecha (sube o baja) solo te sirve para comprobar después que el resultado tiene sentido.

Cómo saber si es directa o inversa: la pregunta clave

Este es el punto donde se equivoca casi todo el mundo, así que vamos a dejarlo grabado a fuego. Para saber qué tipo de regla de tres usar, hazte una sola pregunta:

"Si la primera magnitud AUMENTA, ¿la segunda aumenta o disminuye?"

• Si la respuesta es "también aumenta" → es DIRECTA.
• Si la respuesta es "disminuye" → es INVERSA.

Veámoslo con varios casos, razonándolos en voz alta:

• Más manzanas, ¿más o menos dinero? → Más dinero. Directa.
• Más obreros, ¿más o menos días para acabar la obra? → Menos días. Inversa.
• Más velocidad, ¿más o menos tiempo en llegar? → Menos tiempo. Inversa.
• Más horas trabajadas, ¿más o menos sueldo? → Más sueldo. Directa.
• Más grifos abiertos, ¿más o menos tiempo en llenar la piscina? → Menos tiempo. Inversa.
• Más litros de pintura, ¿más o menos pared pintada? → Más pared. Directa.

El truco mental que nunca falla: piensa en el caso extremo. ¿Y si pusiera muchísimos obreros, infinitos? La obra tardaría casi nada. Más obreros → menos tiempo → inversa. ¿Y si comprara muchísimas manzanas? Pagaría muchísimo. Más manzanas → más dinero → directa. Llevar la situación al extremo hace que la relación se vea clarísima.

Tabla resumen: directa vs inversa

Guárdate esta tabla. Resume todo lo que necesitas saber para no confundirte nunca.

La regla de tres inversa, paso a paso

La regla de tres inversa se usa cuando las magnitudes son inversamente proporcionales (más → menos). Y la diferencia con la directa es solo una: en lugar de multiplicar en cruz, multiplicas en línea (los dos datos de la fila completa que conoces).

El método paso a paso:

1. Identifica las magnitudes y comprueba que la relación es inversa (si una sube, la otra baja).
2. Coloca los datos en la tabla, con la x en su sitio.
3. Multiplica los dos datos de la fila que conoces por completo (la fila sin x).
4. Divide ese producto entre el dato que está en la misma columna que la x.

Con la tabla genérica:

Como es inversa, lo que se mantiene constante es el producto, así que a · b = c · x. Al despejar la x:

x = (a · b) / c

Es decir: multiplicas la fila que está completa (a · b) y divides entre el dato que está justo encima/debajo de la x (c).

Compara con la directa: allí multiplicabas en diagonal; aquí multiplicas en horizontal. Es la única diferencia, pero es crucial.

Ejemplo 1: obreros y días

4 obreros construyen un muro en 9 días. ¿Cuánto tardarán 6 obreros (trabajando al mismo ritmo)?

Paso 1. Magnitudes: obreros y días. ¿Más obreros → más o menos días? Menos días. Inversa.

Paso 2. Tabla:

Paso 3 y 4. Multiplico la fila completa (4 · 9 = 36) y divido entre el dato de la columna de la x (6):

x = (4 · 9) / 6 = 36 / 6 = 6 días

Resultado: 6 obreros tardan 6 días. Comprobación: más obreros que antes (6 > 4), así que deben tardar menos días; y 6 días < 9 días. ✓ Tiene sentido.

⚠️ Cuidado. Si por error lo hubieras hecho como una directa (multiplicando en cruz: 6·9/4 = 13,5 días), el resultado diría que más obreros tardan más días, lo cual es absurdo. Por eso comprobar el sentido del resultado es tan importante: te avisa si te has equivocado de tipo.

Ejemplo 2: velocidad y tiempo

Un autobús que va a 80 km/h tarda 3 horas en hacer un trayecto. ¿Cuánto tardará si va a 120 km/h?

Paso 1. Magnitudes: velocidad y tiempo. ¿Más velocidad → más o menos tiempo? Menos tiempo. Inversa.

Paso 2. Tabla:

Paso 3 y 4. Fila completa (80 · 3 = 240), dividida entre el de la columna de la x (120):

x = (80 · 3) / 120 = 240 / 120 = 2 horas

Resultado: 2 horas. Comprobación: más rápido → menos tiempo; 2 h < 3 h. ✓

Ejemplo 3: comida y días (raciones)

Una granja tiene comida suficiente para alimentar a 30 vacas durante 20 días. Si compran 10 vacas más (40 en total), ¿para cuántos días les durará la misma comida?

Paso 1. Magnitudes: vacas y días. ¿Más vacas → más o menos días dura la comida? Menos días. Inversa.

Paso 2. Tabla:

Paso 3 y 4. x = (30 · 20) / 40 = 600 / 40 = 15 días

Resultado: la comida dura 15 días. Comprobación: más vacas comiendo → la comida dura menos; 15 < 20. ✓

Ejemplo 4: grifos llenando un depósito

3 grifos iguales llenan un depósito en 8 horas. ¿Cuánto tardarían 4 grifos iguales?

¿Más grifos → más o menos tiempo? Menos. Inversa.

x = (3 · 8) / 4 = 24 / 4 = 6 horas

Resultado: 6 horas. Comprobación: más grifos → llena antes; 6 h < 8 h. ✓

La regla de tres compuesta

Hasta ahora todas las reglas de tres tenían dos magnitudes. Pero a veces un problema relaciona tres o más magnitudes a la vez. Entonces hablamos de regla de tres compuesta.

La idea es la misma, solo que ahora tienes que analizar cada magnitud por separado respecto a la incógnita, decidiendo si cada una es directa o inversa con ella. Por eso, una regla de tres compuesta puede ser:

• Directa (todas las magnitudes son directas con la x),
• Inversa (todas son inversas), o
• Mixta (unas directas y otras inversas), que es lo más habitual.

El procedimiento práctico, paso a paso:

1. Coloca todas las magnitudes en una tabla, con la x en su columna.
2. Para cada magnitud (menos la de la x), pregúntate: si esta magnitud aumenta, ¿la x aumenta (directa) o disminuye (inversa)?
3. Construye una fracción con cada magnitud. La magnitud de la columna de la x se queda con su dato conocido en el numerador. Cada otra magnitud se multiplica como una fracción: si es directa, va con su dato "como está"; si es inversa, se pone "del revés" (se invierte la fracción).
4. Multiplica todo y obtén la x.

Suena más complicado de lo que es. Vamos con el método más fácil de seguir: el de flechas y fracciones.

Ejemplo resuelto de regla de tres compuesta

8 obreros, trabajando 6 horas al día, construyen un muro en 10 días. ¿Cuántos días tardarán 12 obreros trabajando 8 horas al día?

Tenemos tres magnitudes: obreros, horas/día y días (la incógnita son los días).

Paso 1. La tabla:

Paso 2. Analizamos cada magnitud frente a los DÍAS (la incógnita):

• Obreros vs días: ¿más obreros → más o menos días? Menos días → INVERSA.
• Horas/día vs días: ¿más horas al día → más o menos días en total? Si trabajan más horas cada día, acaban en menos días. Menos días → INVERSA.

Las dos son inversas con la incógnita.

Paso 3. Montamos la fórmula. Partimos del dato conocido de los días (10) y vamos multiplicando por cada magnitud en forma de fracción. Como ambas son inversas, las fracciones se ponen "del revés" (el dato de la primera fila arriba, el de la segunda fila abajo... no: en inversa se invierte, así que la fila 1 va abajo y la fila 2 arriba). Para no liarte, usa esta regla mecánica fiable:

• Magnitud directa → fracción = (dato fila 2) / (dato fila 1)
• Magnitud inversa → fracción = (dato fila 1) / (dato fila 2)

Así que:

x = 10 · (8 / 12) · (6 / 8)

(la fracción de obreros, inversa, es 8/12; la de horas, inversa, es 6/8)

Paso 4. Calculamos:

x = 10 · (8/12) · (6/8)

Primero 8/12 = 2/3. Y 6/8 = 3/4. Entonces:

x = 10 · (2/3) · (3/4) = 10 · (6/12) = 10 · 0,5 = 5 días

Resultado: 5 días. Vamos a comprobar que tiene sentido. Pasamos de 8 a 12 obreros (más gente) y de 6 a 8 horas al día (más horas). Con más obreros y más horas diarias, la obra debe terminar en menos días que los 10 originales. Y efectivamente sale 5 días, que es menos que 10. ✓ Doble lógica confirmada.

Un segundo ejemplo compuesto (mixto)

Para imprimir 500 folletos, una imprenta con 2 máquinas tarda 4 horas. ¿Cuánto tardarán 3 máquinas en imprimir 900 folletos?

Tres magnitudes: máquinas, folletos y horas (incógnita: horas).

Analizamos frente a las horas:

• Máquinas vs horas: más máquinas → menos horas. INVERSA. → fracción 2/3.
• Folletos vs horas: más folletos → más horas. DIRECTA. → fracción 900/500.

x = 4 · (2/3) · (900/500)

Calculamos: 900/500 = 1,8. Y 2/3 ≈ 0,6667.

x = 4 · 0,6667 · 1,8 = 4 · 1,2 = 4,8 horas

Resultado: 4,8 horas (4 horas y 48 minutos). Comprobación de sentido: hay más máquinas (eso reduce el tiempo) pero también muchos más folletos (eso lo aumenta). El efecto neto sale un poco menos de 5 h, razonable. ✓

Si las dos modificaciones tiran en sentidos opuestos (una baja el tiempo, otra lo sube), el resultado puede quedar parecido al original; eso es normal en las compuestas mixtas.

La regla de tres y los porcentajes

Aquí va una de las ideas más útiles de todo el artículo: un porcentaje es, simplemente, una regla de tres. Si dominas la regla de tres, dominas los porcentajes automáticamente.

¿Por qué? Porque un porcentaje compara una cantidad con 100. "El 20 %" significa "20 de cada 100". Y eso es una proporción perfecta para una regla de tres directa.

Calcular el tanto por ciento de una cantidad

¿Cuánto es el 20 % de 80?

Plantéalo como: "100 % es 80, ¿cuánto es 20 %?". Es directa (más porcentaje → más cantidad):

x = (20 · 80) / 100 = 1600 / 100 = 16

El 20 % de 80 es 16. Comprobación rápida: el 10 % de 80 es 8, así que el 20 % es el doble, 16. ✓

Saber qué porcentaje representa una cantidad

En una clase de 25 alumnos, 15 han aprobado. ¿Qué porcentaje ha aprobado?

"25 alumnos es el 100 %, ¿qué porcentaje son 15?":

x = (15 · 100) / 25 = 1500 / 25 = 60 %

Ha aprobado el 60 %. Comprobación: 15 de 25 es más de la mitad, así que más del 50 %; 60 % cuadra. ✓

Hallar el total a partir de un porcentaje

Si el 30 % de un número es 45, ¿cuál es el número?

"45 es el 30 %, ¿cuánto es el 100 %?":

x = (100 · 45) / 30 = 4500 / 30 = 150

El número es 150. Comprobación: el 30 % de 150 = (30·150)/100 = 45. ✓

Como ves, los tres tipos de problema de porcentajes (calcular el porcentaje, hallar qué tanto por ciento es, o sacar el total) son exactamente la misma regla de tres directa con los datos colocados de forma distinta. Por eso decimos que si entiendes la regla de tres, los porcentajes dejan de dar miedo.

Aplicaciones reales de la regla de tres

La regla de tres no es un ejercicio de clase: es una herramienta que usarás constantemente. Estos son los casos más habituales.

Descuentos y rebajas

Una chaqueta cuesta 60 € y tiene un 25 % de descuento. ¿Cuánto descuento te hacen y cuánto pagas?

Descuento (regla de tres con porcentaje): x = (25 · 60) / 100 = 15 € de descuento. Por tanto pagas 60 − 15 = 45 €.

Escalas de mapas

Un mapa tiene escala 1:50.000 (1 cm en el mapa = 50.000 cm reales = 500 m). Dos ciudades están a 7 cm en el mapa. ¿Cuál es la distancia real?

x = (7 · 500) / 1 = 3.500 m = 3,5 km. Más distancia en el mapa → más distancia real: directa. ✓

Cambio de moneda

Si 1 euro equivale a 1,08 dólares, ¿cuántos dólares son 250 euros?

x = (250 · 1,08) / 1 = 270 dólares. Más euros → más dólares: directa. ✓

Recetas

Una paella para 4 personas lleva 320 g de arroz. ¿Y para 7 personas?

x = (7 · 320) / 4 = 2240 / 4 = 560 g de arroz. Más comensales → más arroz: directa. ✓

Consumo y velocidad (un caso inverso real)

Un depósito de agua dura 12 días si gastas 50 litros al día. Si decides ahorrar y gastar solo 40 litros al día, ¿cuántos días te durará?

¿Menos litros al día → más o menos días dura? Más días → inversa.

x = (50 · 12) / 40 = 600 / 40 = 15 días. Gastas menos cada día, así que dura más; 15 > 12. ✓

En todos estos casos lo difícil no es la cuenta: es identificar bien las magnitudes y decidir si es directa o inversa. Si entrenas esa parte, lo demás es automático.

Errores típicos (y cómo evitarlos)

Estos son los fallos que cometen casi todos los estudiantes. Conocerlos de antemano te ahorra puntos en los exámenes.

1. Confundir directa con inversa

Es el error número uno. Si aplicas el procedimiento de la directa a un problema inverso (o al revés), el resultado sale mal aunque las cuentas estén perfectas. Solución: antes de calcular nada, hazte la pregunta clave ("si una sube, ¿la otra sube o baja?") y, si dudas, piensa en el caso extremo (muchísimos obreros, muchísima velocidad...).

2. Colocar mal los datos en la tabla

Mezclar las magnitudes en las columnas equivocadas, o poner en la misma fila datos que no van juntos. Solución: etiqueta siempre las columnas con el nombre de cada magnitud y su unidad. Cada fila debe ser un "caso completo" coherente.

3. Mezclar unidades distintas

Comparar horas con minutos, metros con centímetros, kilos con gramos... sin convertir antes. Por ejemplo, no puedes poner "2 horas" en una fila y "90 minutos" en otra de la misma columna. Solución: pon todo en la misma unidad antes de operar (todo en minutos, o todo en horas).

4. Multiplicar en cruz cuando es inversa (o en línea cuando es directa)

Una vez decides el tipo, hay que usar la operación correcta: cruz para la directa, línea para la inversa. Solución: apóyate en la fórmula de la tabla resumen. Directa: x = (b·c)/a. Inversa: x = (a·b)/c.

5. No comprobar si el resultado tiene sentido

Aceptar el número que sale sin pensar si es lógico. Solución: después de cada problema, pregúntate "¿este resultado debería ser mayor o menor que el dato de partida?" y comprueba que la flecha apunta donde debe.

6. Olvidar el último paso (la pregunta real)

A veces calculas el descuento pero la pregunta era el precio final; o calculas las horas pero piden los minutos. Solución: vuelve a leer la pregunta y asegúrate de que respondes exactamente lo que piden.

Cómo comprobar que el resultado es correcto

Comprobar es lo que separa un 7 de un 10. Tienes tres formas rápidas de verificar cualquier regla de tres.

Comprobación 1: ¿el resultado tiene sentido (mayor o menor)?

Es la más rápida y la que más errores caza. Antes de dar el resultado por bueno, decide en qué dirección debería ir:

• Si pasaste a más cantidad en una directa, el resultado debe ser mayor.
• Si pasaste a más cantidad en una inversa, el resultado debe ser menor.

Si el número sale al revés de lo esperado, casi seguro confundiste directa con inversa.

Comprobación 2: vuelve a sustituir en la proporción

En una directa, los cocientes deben coincidir. Por ejemplo, en las manzanas (3 → 1,50 €, 5 → 2,50 €):

1,50 / 3 = 0,50 y 2,50 / 5 = 0,50 → coinciden ✓ (cada manzana, 0,50 €).

En una inversa, deben coincidir los productos. En obreros (4 → 9 días, 6 → 6 días):

4 · 9 = 36 y 6 · 6 = 36 → coinciden ✓ (el "trabajo total" es el mismo).

Comprobación 3: estima con números redondos

Haz una cuenta aproximada en la cabeza. 5 manzanas si 3 cuestan 1,50 €... pues algo menos del doble de 1,50, o sea, sobre 2,5 €. Si tu resultado exacto se parece a la estimación, vas bien; si te sale 25 € o 0,25 €, algo ha fallado.

Trucos para acertar siempre

Resumimos los hábitos que hacen que no falles ni una.

1. Escribe siempre la tabla. Aunque te parezca obvio. Colocar bien los datos previene la mayoría de errores.
2. Etiqueta columnas con magnitud y unidad. "Obreros", "Días", "Precio (€)". Te obliga a no mezclar.
3. Decide el tipo ANTES de calcular. Pregunta clave: "si una sube, ¿la otra sube o baja?". Si dudas, lleva el caso al extremo.
4. Memoriza las dos fórmulas. Directa: multiplica en cruz, x = (b·c)/a. Inversa: multiplica en línea, x = (a·b)/c.
5. Convierte unidades antes de operar. Todo en la misma unidad (minutos, gramos, metros...).
6. Comprueba el sentido del resultado. Mayor o menor según lo esperado.
7. Relee la pregunta al final. Responde lo que piden, no lo que calculaste de paso.

Si haces estos siete pasos, fallar una regla de tres se vuelve casi imposible.

Ejercicios resueltos variados

Vamos con una tanda final de ejercicios mezclados (directas, inversas y porcentajes) para que veas el procedimiento en acción. Intenta resolverlos tú antes de mirar la solución.

Ejercicio 1 (directa)

Un grifo llena 15 litros en 3 minutos. ¿Cuántos litros llenará en 8 minutos?

¿Más tiempo → más litros? Directa.

x = (8 · 15) / 3 = 120 / 3 = 40 litros. ✓ (8 min > 3 min, así que más de 15 litros).

Ejercicio 2 (inversa)

5 pintores pintan una fachada en 12 días. ¿Cuánto tardarían 3 pintores?

¿Menos pintores → más o menos días? Más días. Inversa.

x = (5 · 12) / 3 = 60 / 3 = 20 días. ✓ (Menos pintores → tardan más; 20 > 12).

Ejercicio 3 (porcentaje)

En una tienda, un móvil de 320 € sube un 15 %. ¿Cuál es el nuevo precio?

Subida: x = (15 · 320) / 100 = 4800 / 100 = 48 €. Nuevo precio = 320 + 48 = 368 €. ✓

Ejercicio 4 (directa con decimales)

2,5 kg de naranjas cuestan 4 €. ¿Cuánto cuestan 4 kg?

Directa (más kg → más dinero).

x = (4 · 4) / 2,5 = 16 / 2,5 = 6,40 €. ✓ (4 kg > 2,5 kg, así que más de 4 €).

Ejercicio 5 (inversa)

Un trabajo se hace en 6 horas con 4 personas. ¿Cuánto se tardaría con 8 personas?

Inversa (más personas → menos horas).

x = (4 · 6) / 8 = 24 / 8 = 3 horas. ✓ (El doble de personas → la mitad de tiempo).

Ejercicio 6 (compuesta)

6 albañiles levantan 90 metros de muro en 5 días. ¿Cuántos días tardarán 9 albañiles en levantar 180 metros?

Magnitudes: albañiles, metros, días (incógnita).

Análisis frente a los días:

• Más albañiles → menos días. Inversa → fracción 6/9.
• Más metros → más días. Directa → fracción 180/90.

x = 5 · (6/9) · (180/90) = 5 · (6/9) · 2

6/9 = 2/3 ≈ 0,6667, y por 2 = 1,3333.

x = 5 · 1,3333 = 6,67 días (aprox. 6 días y 16 horas).

Comprobación: hay más albañiles (menos días) pero más muro (más días); como el muro se duplica y la mano de obra solo sube de 6 a 9, el tiempo aumenta un poco respecto a los 5 días iniciales. 6,67 > 5. ✓

Ejercicio 7 (porcentaje inverso, total)

Un abrigo está rebajado un 40 % y ahora cuesta 72 €. ¿Cuál era su precio original?

Si está rebajado un 40 %, el precio actual es el 60 % del original (100 − 40 = 60). Así que "72 € es el 60 %, ¿cuánto es el 100 %?":

x = (100 · 72) / 60 = 7200 / 60 = 120 €. ✓ Comprobación: el 40 % de 120 = 48 €; 120 − 48 = 72 €. ✓

Con estos siete ejercicios has repasado todos los tipos. Si los entiendes, ya sabes hacer reglas de tres. La clave, como siempre en matemáticas, está en practicar muchos casos hasta que el procedimiento te salga solo.

La regla de tres dentro del temario (LOMLOE)

La regla de tres y la proporcionalidad aparecen de forma progresiva en el temario español:

• En Primaria (sobre todo 5º y 6º) se introducen las situaciones de proporcionalidad directa de forma intuitiva: precios por unidad, recetas, etc.
• En 1º y 2º de la ESO se formaliza: razón, proporción, magnitudes directa e inversamente proporcionales, regla de tres directa e inversa, y porcentajes.
• En 3º de la ESO se trabaja la regla de tres compuesta y se conecta con problemas de proporcionalidad más complejos, repartos y porcentajes encadenados (interés, IVA, aumentos y descuentos sucesivos).

Por eso, dominar la regla de tres en 1º-2º de la ESO te facilita enormemente todo lo que viene después. No es un tema que "se acaba": es una herramienta que reaparece en física (velocidad, densidad), química (proporciones de reactivos), economía y la vida diaria.

En Profe 24/7 trabajamos la regla de tres como lo que es: una destreza que se entrena con muchos ejemplos. Nuestro tutor con IA no te da el resultado masticado: te guía con pistas para que seas tú quien plantee la tabla y decida si el problema es directo o inverso. Es decir, te enseña a pensar, que es lo que de verdad sirve en el examen. Está alineado con el temario LOMLOE y disponible 24/7, así que puedes practicar a cualquier hora.

Si quieres reforzar a fondo estos contenidos, échale un vistazo a nuestras páginas de Matemáticas de 1º de la ESO y Matemáticas de 2º de la ESO, donde la proporcionalidad es uno de los bloques centrales.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la regla de tres?

La regla de tres es un método matemático para calcular un valor desconocido a partir de tres datos conocidos, cuando las magnitudes implicadas están relacionadas de forma proporcional. Por ejemplo: si 3 manzanas cuestan 1,50 €, ¿cuánto cuestan 5? Se llama "de tres" porque partes de tres valores para hallar el cuarto (la incógnita, x). Hay dos tipos: la directa (más → más) y la inversa (más → menos). Se resuelve colocando los datos en una tabla y multiplicando en cruz (directa) o en línea (inversa).

¿Cómo sé si una regla de tres es directa o inversa?

Hazte una sola pregunta: "si la primera magnitud aumenta, ¿la segunda aumenta o disminuye?". Si la segunda también aumenta, es directa (ejemplos: precio-cantidad, distancia-tiempo). Si la segunda disminuye, es inversa (ejemplos: obreros-días, velocidad-tiempo). Si dudas, lleva la situación al extremo: "con muchísimos obreros, la obra tardaría casi nada" → más obreros, menos tiempo → inversa. Acertar el tipo es lo único realmente importante; el cálculo después es mecánico.

¿Cómo se hace una regla de tres directa?

En la directa se multiplica en cruz. Coloca los datos en una tabla con la incógnita x. Luego multiplica los dos datos que están en diagonal con la x y divide entre el que queda. Con la tabla [a, b] / [c, x], la fórmula es x = (b · c) / a. Ejemplo: 3 manzanas cuestan 1,50 €, ¿5 manzanas? → x = (5 · 1,50) / 3 = 2,50 €. Es directa porque más manzanas significan más dinero.

¿Cómo se hace una regla de tres inversa?

En la inversa se multiplica en línea (no en cruz). Coloca los datos en la tabla y multiplica los dos datos de la fila que conoces por completo; luego divide entre el dato que está en la misma columna que la x. Con la tabla [a, b] / [c, x], la fórmula es x = (a · b) / c. Ejemplo: 4 obreros tardan 9 días, ¿6 obreros? → x = (4 · 9) / 6 = 6 días. Es inversa porque más obreros significan menos días.

¿Qué es la regla de tres compuesta?

La regla de tres compuesta es la que relaciona tres o más magnitudes a la vez (en lugar de solo dos). Por ejemplo: "8 obreros trabajando 6 horas al día tardan 10 días; ¿cuánto tardarán 12 obreros a 8 horas/día?". Para resolverla analizas cada magnitud por separado frente a la incógnita (si es directa o inversa con ella) y construyes la fórmula multiplicando una fracción por cada magnitud: directa "como está", inversa "del revés". Puede ser directa, inversa o mixta.

¿La regla de tres sirve para los porcentajes?

Sí, totalmente: un porcentaje es una regla de tres directa. Un porcentaje compara una cantidad con 100 ("20 %" = "20 de cada 100"). Para calcular el 20 % de 80, planteas "100 % es 80, ¿20 % cuánto es?" → x = (20 · 80) / 100 = 16. Sirve igual para los tres tipos de problema de porcentajes: calcular el tanto por ciento de una cantidad, saber qué porcentaje representa un número, o hallar el total a partir de un porcentaje.

¿Qué significa "multiplicar en cruz"?

"Multiplicar en cruz" es multiplicar los dos datos que están en diagonal dentro de la tabla, formando una "X". Se usa en la regla de tres directa (y para resolver cualquier proporción a/b = c/d, donde a·d = b·c). En la regla de tres inversa NO se multiplica en cruz, sino "en línea" (los dos datos de la misma fila). Confundir una operación con otra es uno de los errores más comunes, por eso primero hay que decidir si el problema es directo o inverso.

¿Cómo compruebo que mi regla de tres está bien?

Tres comprobaciones rápidas. Primera: ¿el resultado tiene sentido? Si pasaste a más cantidad en una directa, debe salir mayor; en una inversa, menor. Segunda: vuelve a la proporción: en la directa los cocientes deben coincidir (1,50/3 = 2,50/5 = 0,50); en la inversa, los productos (4·9 = 6·6 = 36). Tercera: estima con números redondos y compara. Si el resultado va al revés de lo esperado, seguramente confundiste directa con inversa.

¿Para qué sirve la regla de tres en la vida real?

Para muchísimas cosas cotidianas: calcular descuentos y rebajas, leer la escala de un mapa, hacer cambios de moneda, ajustar recetas para más o menos comensales, saber el precio por unidad de un producto, repartir cantidades, calcular velocidades y tiempos de viaje, y resolver cualquier porcentaje (IVA, intereses, propinas). Es, probablemente, la herramienta matemática que más usarás fuera del instituto.

¿Se puede usar la regla de tres con decimales o fracciones?

Sí, sin ningún problema. El procedimiento es exactamente el mismo aunque los datos sean decimales (2,5 kg cuestan 4 €) o fracciones. Lo único que cambia es que las cuentas pueden requerir calculadora o un poco más de cuidado. Lo importante sigue siendo igual: colocar bien los datos, decidir si es directa o inversa, y aplicar la fórmula correspondiente. Eso sí, asegúrate de usar el mismo tipo de número en toda la tabla y de no mezclar unidades distintas.

Conclusión

La regla de tres es una de esas herramientas que, una vez la entiendes, te acompaña para siempre. No es un truco que se memoriza para el examen y se olvida: es una forma de pensar la proporcionalidad que vas a usar en clase de matemáticas, en física, comprando en las rebajas, cocinando, viajando o cambiando dinero.

Recuerda lo esencial: identifica las dos magnitudes, decide si la relación es directa o inversa con la pregunta clave ("si una sube, ¿la otra sube o baja?"), coloca los datos en una tabla ordenada, y aplica la fórmula que toca (multiplicar en cruz en la directa, en línea en la inversa). En la compuesta, analiza cada magnitud por separado. Y siempre, siempre, comprueba que el resultado tiene sentido. Con esos pasos y un poco de práctica, no vas a fallar.

Lo que de verdad marca la diferencia es hacer muchos ejemplos hasta que el procedimiento te salga automático. Si quieres practicar con un tutor que te corrige al instante y te guía con pistas (en lugar de darte la solución hecha), prueba Profe 24/7 gratis: te ayuda a plantear cada problema tú mismo, paso a paso, con ejercicios alineados con tu curso y disponible las 24 horas.

Y si la proporcionalidad se te atraganta porque arrastras lagunas de cursos anteriores, échale un ojo a nuestras guías de cómo aprobar matemáticas y de ecuaciones de segundo grado paso a paso: te ayudarán a coger soltura con el resto de temas del bloque de álgebra y aritmética. ¡A practicar!