Límites y continuidad: cómo resolverlos paso a paso (1º y 2º de Bachillerato)

TL;DR

• Un límite responde a la pregunta "¿hacia qué valor se acerca la función cuando x se acerca a un número?". Fíjate: acercarse, no llegar. Lo que pase exactamente en el punto es otra historia.
• Para calcular un límite lo primero es siempre sustituir. Si sale un número, ya está. Solo cuando aparece una indeterminación (0/0, inf/inf, inf−inf, 0·inf, 1^inf) hay que trabajar.
• Cada indeterminación tiene su técnica fija: 0/0 se rompe factorizando o multiplicando por el conjugado; inf/inf se resuelve comparando grados; inf−inf con conjugado o común denominador; 1^inf con la fórmula del número e; 0·inf transformándola en una de las anteriores.
• Las asíntotas son límites disfrazados: verticales donde el límite se va a ±inf, horizontales cuando el límite en el infinito es un número, y oblicuas cuando el numerador tiene un grado más que el denominador.
• Una función es continua en un punto si se cumplen tres cosas a la vez: existe f(a), existe el límite (los dos laterales coinciden y son finitos) y ambos valen lo mismo. Si falla alguna, hay discontinuidad: evitable, de salto finito o de salto infinito / esencial.
• Las funciones a trozos son el terreno favorito de los exámenes: el clásico "halla k para que sea continua" se resuelve siempre igual, igualando el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor de la función en el punto de empalme.

Límites y continuidad es el tema que abre el análisis matemático y, con diferencia, el que más gente pierde de forma silenciosa. No se pierde por ser difícil: se pierde porque llega justo cuando el alumno viene de dos años haciendo cuentas mecánicas y de repente le piden pensar en "acercarse infinitamente" a un punto sin llegar nunca. Ese salto conceptual dura una semana. Después, resolver límites vuelve a ser lo de siempre: reconocer el tipo de ejercicio y aplicar la técnica que le corresponde.

Y aquí está la buena noticia, la que casi nadie te cuenta el primer día: no hay infinitos tipos de límites. Hay cinco indeterminaciones que caen en Bachillerato y cada una tiene una receta que no cambia nunca. Si aprendes a identificar cuál tienes delante en cinco segundos y a aplicar su técnica sin dudar, este tema pasa de ser un muro a ser puntos fáciles en el examen.

En este artículo vamos a recorrerlo entero: la idea intuitiva de límite con una tabla de valores para que lo veas con números, los límites laterales, los límites cuando x se va al infinito, las indeterminaciones una por una con su técnica, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, la continuidad en un punto con sus tres condiciones, los tipos de discontinuidad, las funciones definidas a trozos con el clásico "halla k", catorce ejercicios resueltos de dificultad creciente, los errores que más puntos cuestan, un plan de seis días y las preguntas que todo el mundo acaba haciendo.

Si estás en Matemáticas de 1º de Bachillerato, este tema es el que te abre la puerta a las derivadas, que llegan justo después y que se definen precisamente con un límite. Si estás en Matemáticas de 2º de Bachillerato o en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, los límites aparecen en representación de funciones, en continuidad y derivabilidad de funciones a trozos y en asíntotas: es decir, en el bloque de análisis, que suele valer entre el 40 % y el 50 % del examen de Selectividad.

Qué es un límite: la idea de acercarse sin llegar

Olvida por un momento la palabra "límite" y quédate con esta pregunta: si x se va acercando muchísimo a un número, ¿a qué valor se va acercando f(x)?

Eso es todo. Un límite es una predicción sobre el comportamiento de la función en las cercanías de un punto, no sobre el punto en sí. Es como mirar hacia dónde apunta una carretera antes de llegar al final: puedes saber perfectamente hacia dónde va aunque el último tramo esté cortado.

Un ejemplo con números: la tabla de valores

Coge esta función:

f(x) = (x^2 − 1) / (x − 1)

En x = 1 la función no existe, porque el denominador se anula: tendrías 0/0, que no es un número. Pero la pregunta del límite no es "¿cuánto vale f(1)?", sino "¿hacia dónde va f(x) cuando x se acerca a 1?". Vamos a comprobarlo dando valores cada vez más cercanos a 1, por los dos lados:

La tabla lo dice todo: por la izquierda los valores se acercan a 2 y por la derecha también. La función nunca vale 2 (de hecho, en x = 1 ni siquiera existe), pero se acerca a 2 todo lo que quieras. Eso es exactamente lo que significa:

lim(x→1) (x^2 − 1)/(x − 1) = 2

Y si te preguntas por qué sale 2, la respuesta es puro álgebra: x^2 − 1 = (x − 1)(x + 1), así que para todo x distinto de 1 se puede simplificar el factor (x − 1) y queda f(x) = x + 1. Y x + 1 en x = 1 vale 2. La función es una recta a la que le han hecho un agujero justo en x = 1.

La notación, traducida

• lim(x→a) f(x) = L se lee "el límite de f(x) cuando x tiende a a es L". Significa: acercando x a a tanto como quieras, f(x) se acerca a L tanto como quieras.
• x → a^− significa "x se acerca a a por la izquierda", es decir, con valores menores que a (0,9; 0,99; 0,999...).
• x → a^+ significa "x se acerca a a por la derecha", con valores mayores que a (1,1; 1,01; 1,001...).
• x → +inf significa "x se hace tan grande como quieras". No es un número: es una dirección.

Límite y valor de la función no son lo mismo

Este es el punto que más cuesta y el que más se pregunta en teoría. Repítelo hasta que suene obvio: el límite en un punto no depende de lo que valga la función en ese punto. Puede ocurrir cualquiera de estas tres cosas:

1. La función existe en a y el límite coincide con f(a). Es el caso bonito: la función es continua ahí.
2. La función no existe en a pero el límite sí existe. Es el ejemplo de arriba: un agujero en la gráfica.
3. La función existe en a pero el límite vale otra cosa, o no existe. La gráfica tiene un punto "descolocado" o un salto.

Toda la idea de continuidad, que veremos más adelante, consiste precisamente en distinguir estos tres casos.

Límites laterales: mirar por los dos lados

Acercarse a un punto se puede hacer viniendo desde valores más pequeños o desde valores más grandes. Los resultados de esos dos acercamientos son los límites laterales.

Cuándo existe el límite

La regla es corta y hay que sabérsela literal:

El límite existe si y solo si los dos límites laterales existen, son finitos y coinciden.

En símbolos: lim(x→a) f(x) = L si y solo si lim(x→a^−) f(x) = lim(x→a^+) f(x) = L.

Si uno vale 3 y el otro vale 5, el límite no existe. No es que valga "algo raro": no existe, y así hay que escribirlo en el examen.

Ejemplo clásico: la función valor absoluto partida por x

f(x) = |x| / x

Para x > 0, |x| = x, así que f(x) = x/x = 1. Para x < 0, |x| = −x, así que f(x) = −x/x = −1. Por tanto:

• lim(x→0^−) f(x) = −1
• lim(x→0^+) f(x) = 1

Son distintos, así que no existe lim(x→0) f(x). La gráfica pega un salto seco de −1 a 1 justo en el cero.

Ejemplo con función a trozos

f(x) = { x + 1 si x < 2 ; x^2 si x ≥ 2 }

• Por la izquierda usamos la rama x + 1: lim(x→2^−) f(x) = 2 + 1 = 3.
• Por la derecha usamos la rama x^2: lim(x→2^+) f(x) = 2^2 = 4.

Distintos, luego no existe el límite en x = 2. Hay un salto de tamaño 1.

Cuándo hay que calcular laterales obligatoriamente

No hace falta hacer laterales siempre. Hay tres situaciones en las que sí son obligatorios:

1. Funciones definidas a trozos, en los puntos donde cambia la definición.
2. Cuando aparece k/0 con k distinto de cero, porque el resultado puede ser +inf por un lado y −inf por el otro.
3. Funciones con valor absoluto o con parte entera, en los puntos donde la expresión de dentro cambia de signo.

Fuera de esos casos, un límite normal se calcula de golpe.

Cómo se calcula un límite: sustituir primero, siempre

Este es el algoritmo mental completo, y funciona en el 100 % de los ejercicios de Bachillerato:

Paso 1. Sustituye x por el valor al que tiende.

Si sale un número, ese es el límite. Fin del ejercicio. Ejemplo: lim(x→2) (x^2 + 3x − 1) = 4 + 6 − 1 = 9.

Paso 2. Mira qué ha salido.

• Un número → ya está.
• k/0 con k ≠ 0 → el resultado es infinito, pero hay que estudiar el signo con los laterales. Esto no es una indeterminación: es un infinito con toda su información, solo falta decidir si es +inf, −inf o si cada lado va por su lado.
• 0/0, inf/inf, inf − inf, 0 · inf, 1^inf → indeterminación. Toca trabajar.

Paso 3. Aplica la técnica de esa indeterminación concreta.

Y aquí es donde entra el resto del artículo. Fíjate en que el paso 3 nunca es "pensar mucho": es "reconocer y aplicar". Por eso este tema es tan agradecido cuando lo tienes por la mano.

Una advertencia importante sobre el paso 2: "indeterminación" no significa "no se puede calcular". Significa "esta información no basta para decidir". 0/0 puede acabar valiendo 5, 0, −4, infinito o no existir, según qué funciones concretas tengas. Por eso hay que transformar la expresión hasta que deje de ser ambigua.

Límites en el infinito

Cuando x → +inf no estamos sustituyendo por un número: estamos preguntando qué pasa con la función cuando x crece sin parar. Aquí manda una única idea: quién crece más rápido.

Polinomios

Un polinomio en el infinito se comporta como su término de mayor grado. Los demás son irrelevantes en comparación:

• lim(x→+inf) (3x^3 − 500x^2 + 10^6) = +inf, porque 3x^3 acaba ganando por goleada.
• lim(x→+inf) (−2x^4 + x) = −inf, porque el coeficiente principal es negativo.
• lim(x→−inf) x^3 = −inf, pero lim(x→−inf) x^2 = +inf. Ojo con la paridad del exponente cuando x tiende a menos infinito.

La jerarquía de infinitos

No todos los infinitos crecen igual. De más lento a más rápido:

logaritmos < raíces < polinomios < exponenciales < factoriales

Es decir, ln x crece más despacio que sqrt(x), que crece más despacio que x^2, que crece más despacio que 2^x. Cuando en un cociente compites un logaritmo contra un polinomio, gana el polinomio; cuando compites un polinomio contra una exponencial, gana la exponencial. Esta jerarquía resuelve de cabeza muchos límites que parecen difíciles.

Cocientes de polinomios: la regla de los grados

Este es el caso que más cae y se resuelve sin hacer ninguna cuenta, comparando el grado del numerador (n) con el del denominador (m):

• n > m → el límite es +inf o −inf (el signo lo da el cociente de los coeficientes principales).
• n = m → el límite es el cociente de los coeficientes principales.
• n < m → el límite es 0.

Ejemplos:

• lim(x→inf) (3x^2 − 5x + 1)/(x^2 + 2) = 3/1 = 3 (mismo grado).
• lim(x→inf) (2x + 1)/(x^2 − 3) = 0 (abajo gana).
• lim(x→inf) (4x^3 − x)/(2x^2 + 5) = +inf (arriba gana).
• lim(x→inf) (−6x^5 + 2)/(3x^5 + x) = −6/3 = −2.

Un detalle que cuesta puntos: cuando hay raíces, el grado de sqrt(x^2 + 3x) es 1, no 2. Una raíz cuadrada divide el grado entre dos. Así:

lim(x→inf) sqrt(x^2 + 3x) / (2x + 1)

tiene grado 1 arriba y grado 1 abajo. El coeficiente principal de arriba es sqrt(1) = 1 y el de abajo es 2, luego el límite vale 1/2. Si andas flojo con esto, merece la pena repasar potencias y raíces antes de meterte en los límites con radicales, porque el 90 % de los fallos ahí son de manipulación algebraica, no de límites.

Las indeterminaciones, una por una

Aquí está el corazón del tema. Vamos a verlas en orden de frecuencia en los exámenes, cada una con su técnica y sus ejemplos resueltos.

Indeterminación 0/0 (I): factorizar

Cuándo aparece: cociente de polinomios donde numerador y denominador se anulan en el mismo punto.

Por qué aparece: si ambos se anulan en x = a, es porque ambos tienen el factor (x − a). Ese factor común es el culpable, y se puede simplificar.

Técnica: factoriza arriba y abajo, simplifica el factor (x − a) y vuelve a sustituir.

Ejemplo 1. lim(x→2) (x^2 − 4)/(x^2 − 5x + 6)

Sustituyendo: (4 − 4)/(4 − 10 + 6) = 0/0. Indeterminación.

Factorizamos. Arriba, diferencia de cuadrados: x^2 − 4 = (x − 2)(x + 2). Abajo, resolvemos x^2 − 5x + 6 = 0 y salen x = 2 y x = 3, luego x^2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

lim(x→2) [(x − 2)(x + 2)] / [(x − 2)(x − 3)] = lim(x→2) (x + 2)/(x − 3) = 4/(−1) = −4

Ejemplo 2. lim(x→1) (x^3 − 1)/(x^2 − 1)

Sustituyendo: 0/0. Factorizamos: x^3 − 1 = (x − 1)(x^2 + x + 1) y x^2 − 1 = (x − 1)(x + 1).

lim(x→1) (x^2 + x + 1)/(x + 1) = 3/2 = 1,5

Ejemplo 3 (con trampa). lim(x→3) (x^2 − 9)/(x^2 − 6x + 9)

Sustituyendo: 0/0. Factorizamos: arriba (x − 3)(x + 3), abajo (x − 3)^2.

lim(x→3) (x + 3)/(x − 3)

Ahora al sustituir sale 6/0. Ya no es indeterminación: es infinito, pero hay que mirar el signo por los dos lados.

• Por la derecha (x = 3,001): denominador positivo diminuto → +inf.
• Por la izquierda (x = 2,999): denominador negativo diminuto → −inf.

Los laterales son distintos, así que el límite no existe, aunque sí podemos decir que hay una asíntota vertical en x = 3.

Para factorizar con soltura necesitas dominar Ruffini y la resolución de ecuaciones de segundo grado. Si esa parte la tienes oxidada, arréglala antes: no hay técnica de límites que te salve de no saber factorizar.

Indeterminación 0/0 (II): multiplicar por el conjugado

Cuándo aparece: hay una raíz cuadrada en el numerador o en el denominador.

Técnica: multiplica arriba y abajo por el conjugado de la expresión con raíz (mismo binomio con el signo del medio cambiado). Al hacerlo aparece la identidad (a − b)(a + b) = a^2 − b^2, la raíz desaparece y el factor problemático se simplifica.

Ejemplo 4. lim(x→0) (sqrt(x + 4) − 2)/x

Sustituyendo: (2 − 2)/0 = 0/0.

Multiplicamos arriba y abajo por (sqrt(x + 4) + 2):

Numerador: (sqrt(x+4) − 2)(sqrt(x+4) + 2) = (x + 4) − 4 = x

Queda: lim(x→0) x / [x · (sqrt(x+4) + 2)] = lim(x→0) 1/(sqrt(x+4) + 2) = 1/(2 + 2) = 1/4

Ejemplo 5. lim(x→3) (sqrt(x + 1) − 2)/(x − 3)

Sustituyendo: (2 − 2)/0 = 0/0. Conjugado (sqrt(x+1) + 2):

Numerador: (x + 1) − 4 = x − 3

lim(x→3) (x − 3) / [(x − 3)(sqrt(x+1) + 2)] = lim(x→3) 1/(sqrt(x+1) + 2) = 1/4 = 0,25

Fíjate en el patrón: el conjugado siempre destruye la raíz y deja al descubierto el factor (x − a) que había que simplificar. Es una técnica mecánica; en cuanto veas una raíz con 0/0, ni lo pienses.

Indeterminación inf/inf: comparar grados

Cuándo aparece: cocientes cuando x → ±inf.

Técnica: ya la tienes, es la regla de los grados de la sección anterior. Formalmente se justifica dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x, pero en el examen basta con aplicar la regla directamente (salvo que te pidan justificarlo).

Por si te lo piden, así se justifica el caso de grados iguales:

lim(x→inf) (3x^2 − 2x)/(5x^2 + 7)

Dividimos todo entre x^2:

lim(x→inf) (3 − 2/x)/(5 + 7/x^2)

Cuando x → inf, los términos 2/x y 7/x^2 tienden a 0, porque un número dividido entre algo enorme es prácticamente cero. Queda 3/5 = 0,6.

Un caso que despista: cuando hay una raíz y x → −inf. Por ejemplo, lim(x→−inf) sqrt(x^2 + 1)/x. Arriba, sqrt(x^2 + 1) se comporta como |x|, que para x negativo es −x. Luego el cociente tiende a −x/x = −1, no a 1. Cuando x tiende a menos infinito y hay raíces cuadradas, revisa el signo con cuidado.

Indeterminación inf − inf

Cuándo aparece: restas de dos cosas que se van al infinito. Hay tres subtipos y cada uno se resuelve distinto.

Subtipo A: dos polinomios. No es indeterminación real, gana el de mayor grado.

lim(x→inf) (x^3 − x^2) = +inf, porque x^3 crece mucho más rápido. Si dudas, saca factor común: x^2(x − 1), donde x^2 → +inf y (x − 1) → +inf, luego el producto es +inf.

Subtipo B: hay raíces → conjugado.

Ejemplo 6. lim(x→inf) [sqrt(x^2 + 3x) − x]

Ambos términos tienden a +inf, luego es inf − inf. Multiplicamos y dividimos por el conjugado sqrt(x^2 + 3x) + x:

Numerador: (x^2 + 3x) − x^2 = 3x

lim(x→inf) 3x / [sqrt(x^2 + 3x) + x]

Ahora es inf/inf con grado 1 arriba y grado 1 abajo. Coeficientes principales: 3 arriba; abajo, sqrt(1) + 1 = 2. Resultado: 3/2.

Subtipo C: fracciones → común denominador.

Ejemplo 7. lim(x→1) [1/(x − 1) − 2/(x^2 − 1)]

Cada fracción se va a infinito, así que es inf − inf. Ponemos común denominador sabiendo que x^2 − 1 = (x − 1)(x + 1):

1/(x−1) − 2/[(x−1)(x+1)] = [(x + 1) − 2] / [(x−1)(x+1)] = (x − 1)/[(x−1)(x+1)]

Simplificamos: lim(x→1) 1/(x + 1) = 1/2

Este último ejemplo es precioso porque muestra algo importante: una inf − inf se transforma en 0/0 y de ahí se resuelve factorizando. Las indeterminaciones se convierten unas en otras; la habilidad consiste en llevarlas a la que sabes resolver.

Indeterminación 1^inf: el número e

Cuándo aparece: una potencia donde la base tiende a 1 y el exponente tiende a infinito. Es la indeterminación más "de fórmula" de todas.

Por qué es indeterminada: 1 elevado a lo que sea es 1, sí, pero aquí la base no es exactamente 1: es algo que se acerca a 1. Y ese "casi 1" elevado a un exponente gigantesco puede dar cualquier cosa. El ejemplo fundacional es:

lim(x→inf) (1 + 1/x)^x = e ≈ 2,71828

Técnica (la fórmula que hay que memorizar):

Si lim f(x) = 1 y lim g(x) = inf, entonces lim [f(x)]^g(x) = e^L, donde L = lim g(x) · [f(x) − 1].

Es decir: restas 1 a la base, lo multiplicas por el exponente, calculas ese límite (que será uno normal) y lo pones como exponente de e.

Ejemplo 8. lim(x→inf) [(x + 3)/(x + 1)]^(2x)

Base: (x+3)/(x+1) → 1. Exponente: 2x → inf. Es 1^inf.

Calculamos f(x) − 1 = (x + 3)/(x + 1) − 1 = (x + 3 − x − 1)/(x + 1) = 2/(x + 1)

L = lim(x→inf) 2x · 2/(x + 1) = lim(x→inf) 4x/(x + 1) = 4

Resultado: e^4

Ejemplo 9. lim(x→inf) [(x^2 + 1)/(x^2 − 2)]^(x^2)

f(x) − 1 = (x^2 + 1 − x^2 + 2)/(x^2 − 2) = 3/(x^2 − 2)

L = lim(x→inf) x^2 · 3/(x^2 − 2) = lim 3x^2/(x^2 − 2) = 3

Resultado: e^3

Un aviso que cuesta muchos puntos: antes de aplicar la fórmula hay que comprobar que la base tiende a 1. Si la base tiende a 2 y el exponente a infinito, el límite es infinito y no hay nada que hacer. Si la base tiende a 1/2, el límite es 0. La fórmula del número e es solo para el caso 1^inf.

Indeterminación 0 · inf

Cuándo aparece: producto de algo que tiende a 0 por algo que tiende a infinito.

Técnica: transformarla en 0/0 o en inf/inf, normalmente juntando todo en una sola fracción. Nunca se resuelve "tal cual".

Ejemplo 10. lim(x→2) (x − 2) · [3/(x^2 − 4)]

El primer factor tiende a 0 y el segundo a infinito. Juntamos:

lim(x→2) 3(x − 2)/(x^2 − 4) = lim(x→2) 3(x − 2)/[(x − 2)(x + 2)] = lim(x→2) 3/(x + 2) = 3/4 = 0,75

Ejemplo 11. lim(x→inf) x · [1/(x + 1)]

Primer factor → inf, segundo → 0. Juntamos: lim(x→inf) x/(x + 1) = 1, por la regla de los grados.

Como ves, 0 · inf nunca es un tipo autónomo: es una 0/0 o una inf/inf mal escrita.

El resumen que deberías tener en una tarjeta

Y lo que no es indeterminación, aunque lo parezca: k/0 (es infinito, mira laterales), 0/k (es 0), k/inf (es 0), inf + inf (es inf), 0^inf (es 0), inf^inf (es inf). Confundir k/0 con 0/0 es probablemente el error número uno de todo el tema.

Asíntotas: los límites hechos dibujo

Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca indefinidamente sin llegar a tocarla (o tocándola alguna vez, en el caso de las horizontales y oblicuas, cosa que está permitida). Y todas se calculan con límites, que es la razón de que este bloque vaya siempre pegado al tema.

Asíntotas verticales

Definición: x = a es asíntota vertical si lim(x→a) f(x) = ±inf (por al menos uno de los lados).

Dónde buscarlas: en los valores que anulan el denominador (y en los que dejan fuera del dominio a un logaritmo, en 2º de Bachillerato).

Cómo se estudian: se calculan los dos límites laterales para saber si la gráfica sube o baja a cada lado.

Ejemplo. f(x) = (2x − 1)/(x + 3)

El denominador se anula en x = −3. Sustituyendo en el numerador: 2(−3) − 1 = −7. Tenemos −7/0, que es infinito. Laterales:

• x → −3^+ (por ejemplo x = −2,9): denominador 0,1 positivo → −7/positivo pequeño → −inf
• x → −3^− (por ejemplo x = −3,1): denominador −0,1 negativo → −7/negativo pequeño → +inf

Luego x = −3 es asíntota vertical, con la rama izquierda subiendo y la derecha bajando.

Cuidado con una trampa muy frecuente: que el denominador se anule no garantiza asíntota. En f(x) = (x^2 − 4)/(x − 2), el denominador se anula en x = 2, pero también el numerador: el límite vale 4, es finito, y no hay asíntota, hay un agujero (discontinuidad evitable). Antes de cantar una asíntota vertical, comprueba que el numerador no se anula también.

Asíntotas horizontales

Definición: y = k es asíntota horizontal si lim(x→+inf) f(x) = k o lim(x→−inf) f(x) = k, con k un número finito.

Cómo se calculan: con la regla de los grados. En cocientes de polinomios hay horizontal cuando el grado de arriba es menor o igual que el de abajo.

• f(x) = (2x − 1)/(x + 3) → grados iguales → y = 2/1 = 2 es asíntota horizontal.
• f(x) = 1/(x^2 − 4) → abajo gana → y = 0 es asíntota horizontal.

Una función puede tener asíntotas horizontales distintas en +inf y en −inf (ocurre con raíces y con exponenciales), pero en cocientes de polinomios siempre coinciden.

Asíntotas oblicuas

Definición: y = mx + n es asíntota oblicua si la gráfica se acerca a esa recta cuando x → ±inf.

Cuándo existen: en un cociente de polinomios, cuando el grado del numerador supera en exactamente 1 al del denominador. Y una regla que evita disgustos: si hay horizontal, no hay oblicua. Son excluyentes.

Cómo se calculan:

• m = lim(x→inf) f(x)/x
• n = lim(x→inf) [f(x) − m·x]

Ejemplo completo. f(x) = (x^2 + 1)/(x − 1)

Grado 2 arriba, grado 1 abajo: hay oblicua.

m = lim(x→inf) (x^2 + 1)/[x(x − 1)] = lim(x→inf) (x^2 + 1)/(x^2 − x) = 1

n = lim(x→inf) [(x^2 + 1)/(x − 1) − x] = lim(x→inf) [x^2 + 1 − x(x − 1)]/(x − 1) = lim(x→inf) (x^2 + 1 − x^2 + x)/(x − 1) = lim(x→inf) (x + 1)/(x − 1) = 1

Asíntota oblicua: y = x + 1

Comprobación por división (el atajo que casi nadie usa y que va mucho más rápido): dividiendo x^2 + 1 entre x − 1 se obtiene cociente x + 1 y resto 2, es decir:

f(x) = x + 1 + 2/(x − 1)

Cuando x → inf, el trozo 2/(x − 1) tiende a 0 y la función se pega a la recta y = x + 1. Exactamente lo que habíamos calculado. En un cociente de polinomios, la asíntota oblicua es el cociente de la división. Si te lo permiten, hazlo así y ahorra dos límites.

Continuidad en un punto: las tres condiciones

Intuitivamente, una función es continua si puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. Es una buena imagen mental, pero en el examen te van a pedir la definición formal, que consta de tres condiciones que se deben cumplir todas:

f es continua en x = a si: 1) existe f(a), es decir, a pertenece al dominio; 2) existe lim(x→a) f(x), es decir, los dos laterales existen, son finitos y coinciden; 3) lim(x→a) f(x) = f(a).

En corto: la función existe ahí, el límite existe, y valen lo mismo.

El orden importa

Comprueba las condiciones en ese orden, porque si falla la primera ya no hace falta seguir: sin f(a) no hay continuidad, sea cual sea el límite. Muchos alumnos se lanzan a calcular límites laterales sin haber mirado el dominio y acaban escribiendo tres líneas que no puntúan.

Qué funciones son continuas "de oficio"

Esto ahorra muchísimo tiempo y hay que sabérselo:

• Los polinomios son continuos en todo R. Siempre. Sin excepciones.
• Las funciones racionales (cociente de polinomios) son continuas en todo R salvo donde se anula el denominador.
• Las raíces de índice par son continuas donde el radicando es mayor o igual que cero.
• Las exponenciales (a^x, e^x) son continuas en todo R.
• Los logaritmos son continuos donde su argumento es estrictamente positivo.
• El seno y el coseno son continuos en todo R; la tangente lo es salvo en pi/2 + k·pi.
• Sumas, restas, productos y composiciones de funciones continuas son continuas; los cocientes, donde no se anule el denominador.

Consecuencia práctica: en una función a trozos formada por polinomios, los únicos puntos sospechosos son los de empalme. En el resto, continuidad garantizada. Decirlo así en el examen suma puntos y ahorra trabajo.

Tipos de discontinuidad

Cuando falla alguna de las tres condiciones, hay discontinuidad. Se clasifica según qué falla:

Discontinuidad evitable

Cuándo: el límite existe y es finito, pero o bien no existe f(a), o bien f(a) es distinto del límite.

Por qué se llama evitable: porque se arregla redefiniendo un solo punto. Basta con declarar f(a) = límite y la función pasa a ser continua.

Ejemplo. f(x) = (x^2 − 4)/(x − 2)

En x = 2 no existe f(2), pero el límite vale 4 (simplificando queda x + 2). Discontinuidad evitable. Definiendo f(2) = 4 el problema desaparece. Gráficamente: una recta con un agujerito.

Otro ejemplo, con el punto "descolocado". f(x) = { (x^2 − 1)/(x − 1) si x ≠ 1 ; 3 si x = 1 }

Aquí f(1) = 3 sí existe, y el límite vale 2. Existen los dos pero no coinciden: falla la tercera condición. Discontinuidad evitable de nuevo. La gráfica es una recta con un punto suelto flotando por encima.

Discontinuidad de salto finito

Cuándo: los dos límites laterales existen y son finitos, pero son distintos.

Salto = valor absoluto de la diferencia entre los dos laterales.

Ejemplo. f(x) = { x + 1 si x < 2 ; x^2 si x ≥ 2 }

Lateral izquierdo 3, lateral derecho 4. Salto de 1. No es evitable: por muchos valores que le pongas a f(2), la gráfica seguirá partida en dos.

Discontinuidad de salto infinito (asintótica)

Cuándo: al menos uno de los límites laterales es +inf o −inf.

Ejemplo. f(x) = 1/(x − 3) en x = 3: por la derecha +inf, por la izquierda −inf. Hay asíntota vertical. Esta discontinuidad se llama también de segunda especie o esencial en muchos libros.

Discontinuidad esencial (no existe algún lateral)

Cuándo: alguno de los límites laterales no existe, ni finito ni infinito, porque la función oscila sin estabilizarse.

Ejemplo típico: f(x) = sin(1/x) en x = 0. Cuando x se acerca a 0, la función oscila entre −1 y 1 cada vez más rápido, infinitas veces, y no tiende a nada. Aparece poco en Bachillerato, pero conviene saber que existe para no decir "el límite es 0" cuando en realidad no hay límite.

Tabla de clasificación rápida

Funciones a trozos: el terreno de examen

Casi todos los problemas de continuidad que caen en un examen de Bachillerato son sobre funciones definidas a trozos. Y tienen siempre la misma estructura, así que se resuelven con un guion fijo.

Cómo se estudia la continuidad de una función a trozos

Paso 1. Cada trozo por separado. Comprueba que cada rama es continua en su intervalo. Si son polinomios, lo son automáticamente. Si hay una racional, mira que su denominador no se anule dentro del intervalo. Si hay un logaritmo, comprueba su dominio.

Paso 2. Los puntos de empalme. En cada frontera entre trozos, aplica las tres condiciones:

• Calcula f(a) usando la rama que incluye el igual (la que tiene ≤ o ≥).
• Calcula el límite por la izquierda con la rama de la izquierda.
• Calcula el límite por la derecha con la rama de la derecha.
• Compara los tres.

Paso 3. Conclusión. Si los tres coinciden, continua ahí. Si no, di qué tipo de discontinuidad es.

Ejemplo completo de estudio

f(x) = { x^2 − 1 si x < 1 ; 2x − 2 si 1 ≤ x < 3 ; x + 1 si x ≥ 3 }

En los intervalos: las tres ramas son polinomios, continuos en todo R. Sin problemas.

En x = 1:

• f(1) = 2(1) − 2 = 0 (usamos la segunda rama, que incluye el 1)
• lim(x→1^−) = 1^2 − 1 = 0
• lim(x→1^+) = 2(1) − 2 = 0

Los tres valen 0 → continua en x = 1.

En x = 3:

• f(3) = 3 + 1 = 4 (tercera rama)
• lim(x→3^−) = 2(3) − 2 = 4
• lim(x→3^+) = 3 + 1 = 4

Los tres valen 4 → continua en x = 3.

Conclusión: f es continua en todo R.

El clásico "halla k para que sea continua"

Este ejercicio cae en Selectividad todos los años en alguna forma. La idea es sencilla: te dan una función a trozos con un parámetro y te piden el valor que hace que encaje. Se resuelve igualando el límite por la izquierda, el límite por la derecha y f(a), y despejando.

Caso 1 (un parámetro).

f(x) = { x^2 + kx si x ≤ 2 ; 3x + 1 si x > 2 }. Halla k para que f sea continua.

• f(2) = 4 + 2k
• lim(x→2^−) = 4 + 2k
• lim(x→2^+) = 6 + 1 = 7

Para que sea continua: 4 + 2k = 7 → 2k = 3 → k = 3/2 = 1,5

Caso 2 (evitable con parámetro).

f(x) = { (x^2 − 9)/(x − 3) si x ≠ 3 ; k si x = 3 }. Halla k.

Simplificando la primera rama: (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3, cuyo límite en 3 es 6. Para que sea continua hace falta f(3) = 6, es decir k = 6.

Caso 3 (dos parámetros).

f(x) = { x + a si x ≤ 0 ; x^2 + 1 si 0 < x < 2 ; bx si x ≥ 2 }. Halla a y b.

En x = 0: f(0) = 0 + a = a. Límite por la izquierda: a. Límite por la derecha: 0^2 + 1 = 1. Igualando: a = 1.

En x = 2: f(2) = 2b. Límite por la izquierda: 2^2 + 1 = 5. Límite por la derecha: 2b. Igualando: 2b = 5 → b = 5/2 = 2,5

Truco para no equivocarte nunca: cada punto de empalme genera una ecuación, y cada parámetro necesita una ecuación. Dos parámetros, dos puntos de empalme, dos ecuaciones. Si te salen más ecuaciones que incógnitas, puede que el problema no tenga solución, y decirlo también es respuesta válida.

Un apunte sobre Bolzano

En 2º de Bachillerato la continuidad no acaba en la clasificación: se usa para demostrar que una ecuación tiene solución. El teorema de Bolzano dice que si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos distintos, entonces existe al menos un punto c dentro de (a, b) con f(c) = 0.

Ejemplo: ¿tiene x^3 + x − 1 = 0 alguna solución entre 0 y 1? La función es un polinomio, luego continua. f(0) = −1 (negativo) y f(1) = 1 (positivo). Signos distintos → por Bolzano hay al menos una raíz en (0, 1). Cuidado con el enunciado: hay que citar la continuidad explícitamente, porque sin ella el teorema no se puede aplicar y los correctores lo penalizan.

14 ejercicios resueltos, de menos a más

Ejercicio 1. lim(x→2) (x^2 + 3x − 1)

Sustituimos: 4 + 6 − 1 = 9. No hay indeterminación: los polinomios son continuos, así que el límite es el valor.

Ejercicio 2. lim(x→3) (x^2 − 9)/(x − 3)

Sustituyendo: 0/0. Factorizamos el numerador: (x − 3)(x + 3).

lim(x→3) (x + 3) = 6

Ejercicio 3. lim(x→−1) (x^2 − 1)/(x^2 + 3x + 2)

Sustituyendo: (1 − 1)/(1 − 3 + 2) = 0/0.

Numerador: (x − 1)(x + 1). Denominador: raíces de x^2 + 3x + 2 = 0 son −1 y −2, luego (x + 1)(x + 2).

lim(x→−1) (x − 1)/(x + 2) = (−2)/(1) = −2

Ejercicio 4. lim(x→1) (x^3 − 3x + 2)/(x^2 − 1)

Sustituyendo: (1 − 3 + 2)/(1 − 1) = 0/0.

Numerador por Ruffini con raíz 1: coeficientes 1, 0, −3, 2 → baja 1, luego 1, luego −2, resto 0. Queda x^3 − 3x + 2 = (x − 1)(x^2 + x − 2) = (x − 1)(x − 1)(x + 2) = (x − 1)^2 (x + 2).

Denominador: (x − 1)(x + 1).

lim(x→1) (x − 1)(x + 2)/(x + 1) = (0)(3)/2 = 0

Fíjate: el resultado de una 0/0 puede ser perfectamente 0.

Ejercicio 5. lim(x→0) (sqrt(1 + x) − 1)/x

Sustituyendo: 0/0. Conjugado (sqrt(1+x) + 1):

Numerador: (1 + x) − 1 = x

lim(x→0) x/[x(sqrt(1+x) + 1)] = lim(x→0) 1/(sqrt(1+x) + 1) = 1/2 = 0,5

Ejercicio 6. lim(x→4) (x − 4)/(sqrt(x) − 2)

Sustituyendo: 0/0. La raíz está abajo, así que el conjugado es (sqrt(x) + 2):

Denominador: (sqrt(x) − 2)(sqrt(x) + 2) = x − 4

lim(x→4) (x − 4)(sqrt(x) + 2)/(x − 4) = lim(x→4) (sqrt(x) + 2) = 2 + 2 = 4

Ejercicio 7. lim(x→inf) (5x^3 − 2x + 1)/(3x^3 + x^2)

inf/inf con grados iguales (3 y 3). Cociente de coeficientes principales: 5/3

Ejercicio 8. lim(x→inf) (2x^2 − 1)/(x^3 + 4) y lim(x→inf) (x^4 + 2)/(3x^2 − 1)

• Primero: grado 2 arriba, grado 3 abajo → gana el denominador → 0
• Segundo: grado 4 arriba, grado 2 abajo → gana el numerador, coeficiente principal positivo → +inf

Ejercicio 9. lim(x→inf) [sqrt(x^2 + 4x) − x]

inf − inf con raíz. Conjugado sqrt(x^2 + 4x) + x:

Numerador: (x^2 + 4x) − x^2 = 4x

lim(x→inf) 4x/[sqrt(x^2 + 4x) + x]

Grado 1 arriba y grado 1 abajo. Coeficientes: 4 arriba; abajo 1 + 1 = 2. Resultado: 2

Ejercicio 10. lim(x→2) [1/(x − 2) − 4/(x^2 − 4)]

inf − inf con fracciones. Común denominador con x^2 − 4 = (x − 2)(x + 2):

[(x + 2) − 4]/[(x − 2)(x + 2)] = (x − 2)/[(x − 2)(x + 2)]

lim(x→2) 1/(x + 2) = 1/4

Ejercicio 11. lim(x→inf) [(3x + 2)/(3x − 1)]^(x + 5)

Base → 1, exponente → inf: es 1^inf.

f(x) − 1 = (3x + 2 − 3x + 1)/(3x − 1) = 3/(3x − 1)

L = lim(x→inf) (x + 5) · 3/(3x − 1) = lim(x→inf) (3x + 15)/(3x − 1) = 1

Resultado: e^1 = e

Ejercicio 12. lim(x→inf) [(x^2 − 3)/(x^2 + 1)]^(2x^2)

Base → 1, exponente → inf: 1^inf.

f(x) − 1 = (x^2 − 3 − x^2 − 1)/(x^2 + 1) = −4/(x^2 + 1)

L = lim(x→inf) 2x^2 · (−4)/(x^2 + 1) = lim(x→inf) (−8x^2)/(x^2 + 1) = −8

Resultado: e^(−8), que es un número positivo muy pequeño (aproximadamente 0,000335). Un exponente negativo no convierte el resultado en negativo: sigue siendo positivo.

Ejercicio 13. Asíntotas de f(x) = (x^2 − 2x)/(x − 3)

Vertical: el denominador se anula en x = 3. El numerador en x = 3 vale 9 − 6 = 3, distinto de cero, luego sí hay asíntota. Laterales: por la derecha 3/0^+ → +inf; por la izquierda 3/0^− → −inf. Asíntota vertical x = 3.

Horizontal: grado 2 arriba, grado 1 abajo → el límite en el infinito es infinito → no hay horizontal.

Oblicua: como el grado de arriba supera en 1 al de abajo, sí hay.

m = lim(x→inf) (x^2 − 2x)/[x(x − 3)] = lim(x→inf) (x^2 − 2x)/(x^2 − 3x) = 1

n = lim(x→inf) [(x^2 − 2x)/(x − 3) − x] = lim(x→inf) (x^2 − 2x − x^2 + 3x)/(x − 3) = lim(x→inf) x/(x − 3) = 1

Asíntota oblicua: y = x + 1

Comprobación por división: x^2 − 2x = (x − 3)(x + 1) + 3, luego f(x) = x + 1 + 3/(x − 3). Coincide.

Ejercicio 14. Estudia la continuidad de f(x) = { (x^2 − 4)/(x − 2) si x < 2 ; 3x − 2 si 2 ≤ x < 4 ; 10 si x ≥ 4 }

Para x < 2: es racional y el denominador solo se anula en x = 2, que no pertenece a ese intervalo. Continua ahí.

Para 2 ≤ x < 4: polinomio. Continua.

Para x ≥ 4: constante. Continua.

En x = 2:

• f(2) = 3(2) − 2 = 4
• lim(x→2^−) = lim (x + 2) = 4 (simplificando la racional)
• lim(x→2^+) = 3(2) − 2 = 4

Los tres coinciden → continua en x = 2.

En x = 4:

• f(4) = 10
• lim(x→4^−) = 3(4) − 2 = 10
• lim(x→4^+) = 10

Coinciden → continua en x = 4.

Conclusión: f es continua en todo R. Si en lugar de 10 la última rama fuera 12, tendríamos en x = 4 una discontinuidad de salto finito de tamaño 2.

Errores típicos que cuestan puntos

1. Confundir k/0 con 0/0. Es el error rey. Si al sustituir sale 5/0, no es indeterminación: es infinito y solo hay que decidir el signo con los laterales. Ponerse a factorizar ahí es perder cinco minutos y llegar a ninguna parte.

2. Aplicar la fórmula del número e sin comprobar la base. La fórmula e^(lim g·(f−1)) solo sirve si la base tiende a 1. Si la base tiende a 3, el resultado es infinito directamente.

3. Escribir "el límite es infinito" cuando los laterales son distintos. Si por la izquierda va a −inf y por la derecha a +inf, el límite no existe. Sí puedes afirmar que hay asíntota vertical, pero el límite global no existe y hay que decirlo.

4. Olvidar que la raíz cuadrada divide el grado entre dos. sqrt(x^4 + 1) tiene grado 2, no 4. Este fallo destroza la mitad de los límites con radicales en el infinito.

5. Confundir el signo cuando x → −inf con raíces. Para x negativo, sqrt(x^2) = |x| = −x. Es un detalle pequeño que cambia el resultado de signo.

6. Estudiar la continuidad sin mirar antes el dominio. Si a no está en el dominio, ya hay discontinuidad, digan lo que digan los límites. Empieza siempre por f(a).

7. Elegir mal la rama al evaluar f(a) en una función a trozos. El valor f(a) se calcula con la rama que contiene el igual. Es un error tonto y muy caro porque arrastra todo el ejercicio.

8. Decir que hay asíntota vertical solo porque el denominador se anula. Si el numerador también se anula, puede que el límite sea finito y lo que haya sea un agujero, no una asíntota.

9. Simplificar sin justificar. Cuando simplificas (x − 2) arriba y abajo, lo estás haciendo porque x ≠ 2 en el proceso del límite. Escribirlo cuesta cinco segundos y en muchos exámenes vale medio punto.

10. Confundir "continua" con "derivable". La continuidad es requisito de la derivabilidad, pero no al revés: |x| es continua en 0 y no derivable ahí. Es una pregunta de teoría muy habitual y la contestan mal muchos alumnos que sí saben calcular. Cuando llegues a derivadas, esta distinción vuelve a aparecer y conviene tenerla clara desde ahora.

11. Dejar los laterales sin calcular en funciones a trozos. Aunque "se vea" que empalman, el examen pide los tres cálculos. Sin ellos, el razonamiento no está completo.

12. Trabajar con decimales aproximados. Si un límite da 3/7, escribe 3/7, no 0,43. En matemáticas de Bachillerato la fracción es la respuesta correcta.

Plan de 6 días para dominar el tema

Este tema se aprende con volumen, igual que las derivadas, pero con una diferencia importante: aquí también hay que entender la teoría, porque las preguntas de continuidad se contestan con definiciones. Reparte así:

Día 1 — La idea y los laterales. Construye tres tablas de valores a mano, como la del principio del artículo, para ver el límite con tus propios números. Después haz 10 límites de sustitución directa y 8 de límites laterales con funciones a trozos sencillas. Objetivo del día: entender que el límite y el valor de la función son cosas distintas.

Día 2 — La indeterminación 0/0. 15 límites: 10 factorizando (polinomios) y 5 con conjugado (raíces). Si te atascas al factorizar, para y repasa Ruffini: el problema no son los límites, es el álgebra. Este día es puro entrenamiento algebraico disfrazado de análisis.

Día 3 — Infinitos. 12 límites en el infinito: cocientes de polinomios de los tres tipos (arriba gana, empate, abajo gana), tres con raíces y tres de inf − inf con conjugado. Añade dos de inf − inf con fracciones. Aprende la regla de los grados hasta que la apliques sin escribir nada.

Día 4 — 1^inf y 0·inf. 8 límites del tipo 1^inf aplicando la fórmula del número e y 4 de 0 · inf convirtiéndolos en fracción. Son los que menos veces salen bien a la primera y los que más agradecen la repetición.

Día 5 — Continuidad y asíntotas. Estudia la continuidad de 6 funciones a trozos completas (con conclusión y tipo de discontinuidad) y resuelve 4 ejercicios de "halla k". Después, calcula todas las asíntotas de 4 funciones racionales: una con horizontal, una con oblicua, una con agujero y una con asíntota vertical de doble rama.

Día 6 — Simulacro y repaso de errores. Coge un examen real de tu profesor o de la EBAU de tu comunidad, hazlo con tiempo medido y sin apuntes, y después corrígelo con lupa. Dedica el resto del día solo a los tipos que fallaste. Repetir lo que ya te sale bien es cómodo, pero no sube la nota.

Si en algún momento de ese plan te bloqueas a una hora en la que no tienes a quién preguntar, ahí es donde Profe 24/7 resulta útil: puedes fotografiar el límite que no te sale y, en lugar de recibir el resultado copiado, recibir la pregunta que te desatasca ("¿qué te ha salido al sustituir?, ¿eso es 0/0 o es 5/0?"). En un tema tan procedimental como este, identificar en qué paso concreto te desvías vale más que ver diez ejercicios resueltos.

Cómo se estudia realmente este tema

Tres ideas que marcan la diferencia entre aprobar raspado y sacar un notable:

Primera: el problema casi nunca son los límites. Cuando un alumno no saca una 0/0, en nueve de cada diez casos es porque no sabe factorizar un polinomio de grado tres o porque se lía con el conjugado, no porque no entienda el concepto de límite. Diagnostica bien: si tu fallo es algebraico, arréglalo con álgebra. En cómo aprobar Matemáticas tienes el método para detectar ese tipo de lagunas arrastradas, que son las que hunden a mucha gente en Bachillerato sin que sepan identificar la causa.

Segunda: clasifica antes de calcular. Adopta el hábito de escribir siempre, en la primera línea del ejercicio, qué te ha salido al sustituir: "0/0", "inf/inf", "−7/0". Esa línea de diez caracteres decide la técnica y evita que empieces a manipular sin rumbo. Los alumnos que suspenden este tema suelen ser los que se lanzan a operar sin haber sustituido primero.

Tercera: la teoría de continuidad se memoriza, y se memoriza bien. Las tres condiciones, los tipos de discontinuidad y el enunciado de Bolzano son preguntas de respuesta cerrada: o te las sabes o no. Son puntos regalados, y curiosamente muchos alumnos que resuelven límites con soltura los pierden por no haber dedicado veinte minutos a aprenderse cuatro definiciones. Si vas camino de la EBAU, en cómo preparar la Selectividad verás cómo encajar este tipo de repaso teórico en el calendario general sin que se coma el tiempo de práctica.

Preguntas frecuentes sobre límites y continuidad

¿Qué es un límite en palabras sencillas?

Un límite es el valor al que se acerca una función cuando la variable se acerca a un número, sin llegar necesariamente a alcanzarlo. Responde a la pregunta "¿hacia dónde apunta la función aquí?". Lo importante es que el límite describe el comportamiento en las cercanías del punto, no lo que ocurre exactamente en él.

¿Cómo se resuelve un límite paso a paso?

Primero sustituye x por el valor al que tiende. Si sale un número, ese es el resultado. Si sale k/0 con k distinto de cero, es infinito y hay que estudiar los laterales. Si sale una indeterminación (0/0, inf/inf, inf−inf, 0·inf, 1^inf), aplica la técnica correspondiente: factorizar, conjugado, comparar grados, común denominador o la fórmula del número e.

¿Cuáles son las indeterminaciones que hay que saberse?

En Bachillerato son siete formalmente, pero cinco caen habitualmente: 0/0, inf/inf, inf−inf, 0·inf y 1^inf. Las otras dos, 0^0 e inf^0, aparecen solo en cursos superiores. Recuerda que k/0, 0/k, k/inf o inf+inf no son indeterminaciones: tienen resultado directo y confundirlas es el error más frecuente del tema.

¿Cuándo una función es continua en un punto?

Cuando se cumplen tres condiciones a la vez: que exista f(a), es decir que el punto esté en el dominio; que exista el límite en a, lo que exige que los dos límites laterales sean finitos y coincidan; y que el límite y f(a) valgan lo mismo. Si falla cualquiera de las tres, hay discontinuidad.

¿Qué diferencia hay entre discontinuidad evitable y de salto?

En la evitable el límite existe y es finito, pero no coincide con f(a) o f(a) no está definido: se arregla redefiniendo un único punto, y en la gráfica se ve como un agujero. En la de salto, los límites laterales son distintos, así que la gráfica está partida y no hay ningún valor que puedas asignar para unirla.

¿Cómo se calcula k para que una función a trozos sea continua?

Localiza los puntos donde cambia la definición. En cada uno, calcula el límite por la izquierda con la rama izquierda, el límite por la derecha con la rama derecha y f(a) con la rama que contiene el igual. Iguala las tres expresiones y despeja el parámetro. Cada punto de empalme te da una ecuación, así que con dos parámetros necesitarás dos empalmes.

¿Cómo se hallan las asíntotas de una función a partir de límites?

Las verticales están donde el límite se va a ±inf, típicamente en los ceros del denominador que no anulan el numerador. Las horizontales son y = k cuando el límite en el infinito vale k. Las oblicuas, y = mx + n, existen cuando el numerador supera en un grado al denominador: m es el límite de f(x)/x y n el de f(x) − mx.

¿Para qué sirven los límites en la vida real?

Sirven para describir procesos que tienden a un valor sin alcanzarlo: la velocidad instantánea de un coche, la concentración final de un medicamento en sangre, el interés compuesto continuo (de donde sale el número e) o la capacidad máxima de una población. Además son la base de las derivadas y las integrales, es decir, de casi toda la matemática aplicada a la física, la ingeniería y la economía.

En resumen

Los límites preguntan siempre lo mismo: hacia dónde va la función. La continuidad pregunta si ese "hacia dónde va" coincide con "dónde está". Toda la asignatura de este tema cabe en esas dos frases; el resto son técnicas para responderlas cuando la sustitución directa no basta.

Y esas técnicas son pocas y fijas. Cinco indeterminaciones, cinco recetas. Tres condiciones de continuidad. Cuatro tipos de discontinuidad. Tres tipos de asíntota, cada una con su límite. Si construyes esa tarjeta mental y la practicas seis días seguidos, llegarás al examen reconociendo cada ejercicio en cinco segundos, que es exactamente lo que separa al que aprueba del que se queda mirando el papel.

El punto crítico está en la corrección: mirar la solución y asentir no enseña nada, rehacer el ejercicio desde cero después de ver el fallo sí. Por eso en Profe 24/7 el sistema no suelta el resultado cuando le mandas la foto de un límite atascado: te devuelve la pregunta que te obliga a mirar el paso donde te has desviado. Es más lento el primer día y mucho más rápido el sexto. Que es, al final, la única forma de que el día del examen el límite te salga a ti.