Logaritmos: qué son, propiedades y cómo resolver ecuaciones logarítmicas

TL;DR

• Un logaritmo responde a una única pregunta: "¿a qué exponente tengo que elevar la base para obtener este número?". Por eso log_2(8) = 3, porque 2^3 = 8. Todo lo demás sale de ahí.
• El logaritmo es la operación inversa de la potencia: log_a(x) = y equivale exactamente a a^y = x. Si dudas de un resultado, tradúcelo a potencia y compruébalo.
• Solo hay cuatro propiedades que memorizar: producto (suma de logaritmos), cociente (resta), potencia (el exponente sale multiplicando) y cambio de base. Con ellas resuelves el 90 % de los ejercicios.
• En las ecuaciones logarítmicas la comprobación no es opcional: el argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo, así que hay soluciones algebraicamente correctas que hay que rechazar.
• Las ecuaciones exponenciales con bases que no se pueden igualar se resuelven tomando logaritmos en los dos miembros y bajando el exponente.
• Los logaritmos no son un capricho: la escala Richter, el pH, los decibelios y el cálculo del tiempo en el interés compuesto son logaritmos disfrazados.

Los logaritmos tienen mala fama, y es una fama injusta. Cuando un alumno de 1º de Bachillerato ve por primera vez la expresión log_2(8) = 3, lo que suele pasar es que nadie le ha explicado qué está preguntando ese símbolo. Se aprende de memoria una lista de propiedades, se aplican como recetas, y al llegar a las ecuaciones logarítmicas todo se derrumba porque no hay una idea sólida debajo.

La realidad es mucho más simple. Un logaritmo es una pregunta. Una sola. Y esa pregunta es: "¿a qué exponente tengo que elevar la base para llegar hasta aquí?". Si interiorizas eso, las propiedades dejan de ser fórmulas arbitrarias y se convierten en consecuencias evidentes de las propiedades de las potencias, que ya conoces desde la ESO.

En esta guía vamos a construirlo todo desde cero: qué significa exactamente un logaritmo, por qué se inventaron, cómo se relacionan con las potencias, qué son el logaritmo decimal y el neperiano, las cuatro propiedades demostradas (no solo enunciadas), cómo es la gráfica de la función logarítmica, cómo se resuelven paso a paso las ecuaciones logarítmicas y exponenciales, dónde aparecen los logaritmos en el mundo real y, sobre todo, más de quince ejercicios resueltos con todos los cálculos a la vista. Al final tienes un plan de cinco días para dominar el tema y una sección de preguntas frecuentes.

Un aviso de notación antes de empezar: en este artículo escribimos las potencias con el símbolo ^ (así, 2^3 significa "dos elevado a tres") y los logaritmos con la base como subíndice entre paréntesis (log_2(8) significa "logaritmo en base 2 de 8"). Cuando escribamos log(x) sin base, nos referimos al logaritmo decimal (base 10), y ln(x) es el logaritmo neperiano (base e), como marca el convenio internacional.

Qué es un logaritmo: la pregunta que resuelve

Empecemos por donde hay que empezar. Sabes calcular potencias: 2^5 = 32. Aquí tienes tres números relacionados entre sí: la base (2), el exponente (5) y el resultado (32). Con la potencia, conoces la base y el exponente, y buscas el resultado.

Pero hay otras dos preguntas posibles con esos mismos tres números:

1. Conozco el exponente y el resultado, busco la base: "¿qué número elevado a 5 da 32?". Eso es una raíz: la raíz quinta de 32 es 2.
2. Conozco la base y el resultado, busco el exponente: "¿a qué exponente tengo que elevar 2 para obtener 32?". Eso es un logaritmo: log_2(32) = 5.

Es exactamente igual de natural que la raíz. La única diferencia es que la raíz aparece en 2º de la ESO y el logaritmo en 1º de Bachillerato, así que uno nos suena familiar y el otro nos parece exótico. Si quieres repasar la base sobre la que se apoya todo esto, tenemos una guía completa de potencias y raíces que conviene tener fresca antes de seguir.

La definición formal

Sea a un número real positivo y distinto de 1, y sea x un número real positivo. Se define:

log_a(x) = y si y solo si a^y = x

Léelo despacio: "el logaritmo en base a de x es y" significa "a elevado a y da x". La doble flecha es lo importante: son dos formas de escribir exactamente la misma información. Toda la asignatura consiste en saber pasar de una forma a la otra sin pensarlo.

Vamos con ejemplos concretos, y comprueba cada uno mentalmente:

• log_2(8) = 3, porque 2^3 = 8.
• log_3(81) = 4, porque 3^4 = 81 (3·3·3·3 = 81).
• log_10(1000) = 3, porque 10^3 = 1000.
• log_5(25) = 2, porque 5^2 = 25.
• log_7(1) = 0, porque 7^0 = 1.
• log_2(1/4) = -2, porque 2^(-2) = 1/(2^2) = 1/4.
• log_9(3) = 1/2, porque 9^(1/2) = raíz de 9 = 3.

Fíjate en los dos últimos. Los logaritmos pueden ser negativos y pueden ser fraccionarios, y eso no tiene nada de raro: simplemente reflejan que los exponentes también pueden serlo. Un logaritmo negativo indica que el número es menor que 1; un logaritmo fraccionario indica que estamos ante una raíz.

Por qué se inventaron los logaritmos

Los logaritmos no nacieron en clase de Bachillerato: los desarrolló el escocés John Napier a principios del siglo XVII con un objetivo muy práctico. En una época sin calculadoras, multiplicar dos números de siete cifras era un trabajo de media hora, y los astrónomos y navegantes tenían que hacerlo constantemente.

Napier se dio cuenta de algo genial: si conviertes cada número en su logaritmo, multiplicar se convierte en sumar. Y sumar dos números de siete cifras es cuestión de treinta segundos. Ese fue el gran invento: unas tablas que te permitían transformar multiplicaciones en sumas, divisiones en restas y potencias en multiplicaciones. Pierre-Simon Laplace llegó a decir que los logaritmos "duplicaron la vida del astrónomo" al reducirle a la mitad el tiempo de cálculo.

Hoy tenemos calculadoras, así que ese uso concreto ha desaparecido. Pero la propiedad que hizo útiles a los logaritmos (convertir productos en sumas) sigue siendo la razón por la que aparecen en física, química, biología, economía e informática. Cualquier fenómeno que crezca multiplicándose (poblaciones, intereses, virus, señales) se estudia mucho mejor en escala logarítmica.

Condiciones de existencia: la letra pequeña que suspende exámenes

La definición tiene dos restricciones que parecen técnicas y que en realidad son la causa número uno de errores en las ecuaciones logarítmicas:

Restricción 1: la base debe ser positiva y distinta de 1 (a > 0, a ≠ 1).

¿Por qué no puede ser 1? Porque 1 elevado a cualquier cosa da 1. Si preguntamos log_1(5), estamos preguntando "¿a qué exponente elevo 1 para obtener 5?", y la respuesta es que no existe tal exponente. Y si preguntamos log_1(1), la respuesta sería cualquier número, lo cual tampoco sirve.

¿Y por qué no puede ser negativa? Porque las potencias de base negativa se comportan de forma caótica: (-2)^2 = 4 pero (-2)^3 = -8, y (-2)^(1/2) ni siquiera es un número real. No se puede construir una función continua con eso.

Restricción 2: el argumento debe ser estrictamente positivo (x > 0).

Esta es la clave de todo. No existe log_2(0) ni log_2(-8). Piénsalo con la definición: ¿a qué exponente elevo 2 para obtener -8? Ninguno, porque una potencia de base positiva siempre da un resultado positivo. Por muy negativo que hagas el exponente, 2^(-100) es un número minúsculo, pero positivo.

Esto significa que, en cualquier ecuación logarítmica, las soluciones que hagan negativo o nulo el argumento de un logaritmo deben rechazarse. No es una manía del profesor: es que esa expresión literalmente no existe. Volveremos sobre ello con detalle.

Logaritmos y potencias: la misma información escrita al revés

La habilidad más rentable de todo el tema es traducir instantáneamente entre las dos notaciones. Practícalo hasta que sea automático:

Comprobemos el caso más raro, el de 4^(3/2) = 8: elevar a 3/2 es hacer la raíz cuadrada y luego el cubo. La raíz cuadrada de 4 es 2, y 2^3 = 8. Correcto.

Las cuatro identidades inmediatas

De la definición salen cuatro resultados que debes reconocer al instante, sin calcular nada:

1. log_a(1) = 0 para cualquier base. Porque a^0 = 1 siempre.

2. log_a(a) = 1 para cualquier base. Porque a^1 = a siempre.

3. log_a(a^n) = n. Porque la pregunta "¿a qué exponente elevo a para obtener a^n?" se responde sola. Ejemplo: log_3(3^7) = 7.

4. a^(log_a(x)) = x. Es la misma idea al revés: si elevas la base al exponente que da x, obtienes x. Ejemplo: 5^(log_5(12)) = 12.

Las dos últimas dicen algo profundo: la función logarítmica y la exponencial se deshacen la una a la otra. Son funciones inversas, igual que elevar al cuadrado y hacer la raíz cuadrada. Esta idea será el motor de todas las ecuaciones exponenciales.

Logaritmos que conviene saber de memoria

Ganarás muchísimo tiempo en los exámenes si tienes automatizados estos:

• Base 2: log_2(2) = 1, log_2(4) = 2, log_2(8) = 3, log_2(16) = 4, log_2(32) = 5, log_2(64) = 6, log_2(128) = 7, log_2(256) = 8, log_2(1024) = 10.
• Base 3: log_3(3) = 1, log_3(9) = 2, log_3(27) = 3, log_3(81) = 4, log_3(243) = 5.
• Base 5: log_5(5) = 1, log_5(25) = 2, log_5(125) = 3, log_5(625) = 4.
• Base 10: log(10) = 1, log(100) = 2, log(1000) = 3, log(0,1) = -1, log(0,01) = -2.

Y dos valores aproximados que aparecen una y otra vez: log(2) ≈ 0,3010 y log(3) ≈ 0,4771. Con esos dos números y las propiedades puedes calcular a mano el logaritmo decimal de casi cualquier número pequeño, como veremos en los ejercicios.

Los logaritmos que más vas a usar: decimal, neperiano y binario

Aunque la base puede ser cualquier número positivo distinto de 1, en la práctica solo se usan tres.

El logaritmo decimal (base 10)

Se escribe log(x), sin indicar la base, o a veces log_10(x). Es el que trae la tecla "log" de la calculadora.

Su gran ventaja es que te dice el orden de magnitud de un número, es decir, cuántas cifras tiene aproximadamente. Como log(1000) = 3 y log(10000) = 4, cualquier número de cuatro cifras tiene un logaritmo decimal entre 3 y 4. Por ejemplo, log(5000) ≈ 3,699.

Por eso se usa en todas las escalas que comprimen rangos enormes: Richter, pH, decibelios. Cuando un fenómeno va de 1 a 1.000.000.000, representarlo en una gráfica normal es imposible; en escala logarítmica ese rango ocupa solo diez unidades.

El logaritmo neperiano o natural (base e)

Se escribe ln(x) y su base es el número e ≈ 2,71828..., un número irracional tan importante como pi.

Aquí viene la pregunta que todo alumno hace: ¿por qué demonios usar una base tan fea? La respuesta corta es que e es la base en la que el crecimiento exponencial es "puro". La respuesta un poco más larga: e surge de estudiar el interés compuesto llevado al límite. Si inviertes 1 euro al 100 % anual y te lo capitalizan una vez al año, acabas con 2 euros. Si te lo capitalizan cada mes, con (1 + 1/12)^12 ≈ 2,613 euros. Cada día, con (1 + 1/365)^365 ≈ 2,7146 euros. Si lo capitalizas en cada instante, el límite es exactamente e = 2,71828...

La consecuencia práctica llega en derivadas: la derivada de e^x es e^x (la única función que es su propia derivada) y la derivada de ln(x) es 1/x, la expresión más limpia posible. Cualquier otra base arrastra un factor incómodo. Por eso, en cuanto entras en cálculo, el logaritmo neperiano se come al decimal.

Valores útiles: ln(1) = 0, ln(e) = 1, ln(2) ≈ 0,6931, ln(3) ≈ 1,0986, ln(10) ≈ 2,3026.

El logaritmo binario (base 2)

Se escribe log_2(x) y es el rey de la informática. Cuenta cuántas veces puedes dividir algo por la mitad: si tienes una lista ordenada de 1.024 elementos y buscas uno haciendo búsqueda binaria, necesitas como mucho log_2(1024) = 10 comparaciones. En Bachillerato aparece menos, pero es el que mejor ilustra la intuición del logaritmo.

Las propiedades de los logaritmos, demostradas

Aquí está el corazón del tema. Muchos alumnos se aprenden estas cuatro fórmulas de memoria y las aplican mal precisamente porque no saben de dónde salen. Vamos a demostrarlas todas: verás que cada una es simplemente una propiedad de las potencias mirada desde el otro lado.

En todo lo que sigue, a es una base válida (a > 0, a ≠ 1) y x, y son números positivos.

Propiedad 1: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos

log_a(x · y) = log_a(x) + log_a(y)

Demostración. Llamemos m = log_a(x) y n = log_a(y). Por la definición de logaritmo, eso significa que a^m = x y a^n = y.

Multiplicamos las dos igualdades:

x · y = a^m · a^n

Y ahora usamos la propiedad de las potencias de igual base: al multiplicar, los exponentes se suman. Por tanto:

x · y = a^(m+n)

Traducimos esa igualdad a forma logarítmica: log_a(x·y) = m + n. Y como m y n eran los logaritmos de x e y, queda:

log_a(x · y) = log_a(x) + log_a(y)

Fin de la demostración. Como ves, no hay magia: es literalmente la regla "a^m · a^n = a^(m+n)" leída al revés.

Comprobación numérica. Tomemos base 2, x = 8, y = 4.

• Lado izquierdo: log_2(8 · 4) = log_2(32) = 5.
• Lado derecho: log_2(8) + log_2(4) = 3 + 2 = 5.

Coinciden.

Aviso crítico: la propiedad habla del logaritmo de un producto, no de una suma. log(x + y) NO es log(x) + log(y). Volveremos sobre este error, que es el más frecuente de todos.

Propiedad 2: el logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos

log_a(x / y) = log_a(x) - log_a(y)

Demostración. De nuevo, m = log_a(x) y n = log_a(y), es decir, a^m = x y a^n = y. Dividimos:

x / y = a^m / a^n = a^(m-n)

porque al dividir potencias de la misma base los exponentes se restan. Pasando a forma logarítmica:

log_a(x / y) = m - n = log_a(x) - log_a(y)

Comprobación numérica. Base 2, x = 32, y = 8.

• Lado izquierdo: log_2(32 / 8) = log_2(4) = 2.
• Lado derecho: log_2(32) - log_2(8) = 5 - 3 = 2.

Coinciden.

Un caso particular muy útil: si x = 1, como log_a(1) = 0, queda log_a(1/y) = -log_a(y). Es decir, el logaritmo del inverso es el logaritmo cambiado de signo. Por ejemplo, log_2(1/8) = -3.

Propiedad 3: el logaritmo de una potencia baja el exponente multiplicando

log_a(x^n) = n · log_a(x)

Demostración. Sea m = log_a(x), o sea, a^m = x. Elevamos los dos miembros a n:

x^n = (a^m)^n = a^(m·n)

usando que al elevar una potencia a otra potencia los exponentes se multiplican. Traduciendo:

log_a(x^n) = m · n = n · log_a(x)

Comprobación numérica. Base 2, x = 4, n = 3.

• Lado izquierdo: log_2(4^3) = log_2(64) = 6.
• Lado derecho: 3 · log_2(4) = 3 · 2 = 6.

Coinciden.

Esta es la propiedad más potente de las cuatro, porque es la que permite sacar la incógnita de un exponente. Toda ecuación exponencial que no se resuelva igualando bases se resuelve con esta propiedad.

Propiedad 4 (consecuencia): el logaritmo de una raíz

log_a(raíz n-ésima de x) = log_a(x) / n

No es una propiedad nueva: una raíz n-ésima es una potencia de exponente 1/n. Aplicando la propiedad 3:

log_a(x^(1/n)) = (1/n) · log_a(x) = log_a(x) / n

Comprobación numérica. log_2(raíz cuadrada de 64) = log_2(8) = 3. Y por la fórmula: log_2(64) / 2 = 6 / 2 = 3. Coinciden.

Propiedad 5: cambio de base

log_a(x) = log_b(x) / log_b(a)

Esta es la que salva el examen cuando la calculadora solo tiene "log" y "ln", pero el ejercicio pide un logaritmo en base 7.

Demostración. Sea y = log_a(x). Por definición, a^y = x. Tomamos logaritmos en base b (una base cualquiera válida) en los dos miembros:

log_b(a^y) = log_b(x)

Aplicamos la propiedad 3 al miembro izquierdo:

y · log_b(a) = log_b(x)

Y despejamos y, teniendo en cuenta que log_b(a) no es cero porque a ≠ 1:

y = log_b(x) / log_b(a)

Como y era log_a(x), queda demostrado.

Comprobación numérica. Calculemos log_5(125), que sabemos que vale 3, pasando por base 10:

log_5(125) = log(125) / log(5) = 2,09691 / 0,69897 = 3,0000

Correcto. Otro ejemplo, ahora uno que no da entero: log_2(10) = log(10) / log(2) = 1 / 0,30103 = 3,3219. ¿Tiene sentido? 2^3 = 8 y 2^4 = 16, así que el resultado debe estar entre 3 y 4, más cerca de 3. Encaja.

Un caso particular curioso que sale de aquí: log_a(b) = 1 / log_b(a). Por ejemplo, log_2(10) = 3,3219 y log_10(2) = 0,3010, y efectivamente 1 / 3,3219 = 0,3010.

Tabla resumen de las propiedades

La función logarítmica y su gráfica

Hasta ahora hemos tratado el logaritmo como una operación. Ahora vamos a verlo como una función: f(x) = log_a(x). Entender su gráfica es lo que te va a permitir saber, de un vistazo, si una solución de una ecuación es posible o absurda.

Dominio y recorrido

• Dominio: (0, +infinito). Solo admite números estrictamente positivos, por la restricción que ya conocemos. Esto es lo que provoca que haya soluciones que rechazar en las ecuaciones.
• Recorrido: todos los números reales. La función logarítmica puede valer cualquier cosa: enormes positivos, cero, enormes negativos.

Esa asimetría (entra un rango pequeño, sale un rango infinito) es justo lo contrario de la exponencial, que admite cualquier x y solo devuelve positivos. Tiene sentido: son funciones inversas.

Puntos clave y forma de la curva (base mayor que 1)

Tomemos f(x) = log_2(x) y hagamos una tabla de valores:

Si dibujas estos puntos, obtienes una curva con estas características:

1. Pasa siempre por el punto (1, 0), porque log_a(1) = 0 en cualquier base. Es el punto de corte con el eje X, y es el único.
2. Pasa por el punto (a, 1), es decir, por (2, 1) en nuestro caso.
3. No corta nunca el eje Y, porque x = 0 no está en el dominio.
4. Es creciente: cuanto mayor es x, mayor es el logaritmo. Pero crece cada vez más despacio. Fíjate en la tabla: para pasar de 1 a 2 hay que ir de x = 2 a x = 4; para pasar de 2 a 3, de x = 4 a x = 8. Cada unidad que sube la función cuesta el doble de recorrido horizontal.
5. Tiene una asíntota vertical en x = 0: cuando x se acerca a cero por la derecha, la función se despeña hacia -infinito sin llegar nunca a tocar el eje Y. log_2(0,001) = -9,97; log_2(0,000001) = -19,93.

Esa lentitud del crecimiento es la característica más importante de la función logarítmica. Es la función que crece más despacio de todas las que estudias en Bachillerato: más despacio que raíz de x, muchísimo más despacio que x o que x². Por eso comprime escalas gigantescas en números manejables.

Base entre 0 y 1: la curva se da la vuelta

Si la base está entre 0 y 1, por ejemplo f(x) = log_(1/2)(x), la función es decreciente. Comprobémoslo: log_(1/2)(8) = -3, porque (1/2)^(-3) = 2^3 = 8. Y log_(1/2)(1/8) = 3. Cuanto mayor es el número, más negativo es su logaritmo.

De hecho, log_(1/2)(x) = -log_2(x), así que la gráfica es la de log_2(x) reflejada respecto al eje X. Sigue pasando por (1, 0) y sigue teniendo la asíntota en x = 0.

En resumen: si a > 1, la función logarítmica crece; si 0 < a < 1, decrece. En la práctica de Bachillerato casi siempre trabajarás con bases mayores que 1.

Simetría con la exponencial

Como f(x) = log_a(x) y g(x) = a^x son funciones inversas, sus gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Si doblas el papel por la bisectriz del primer cuadrante, una cae exactamente sobre la otra.

Esta simetría explica todas las correspondencias:

Tener esta tabla clara vale más que veinte ejercicios mecánicos, porque te permite verificar resultados por sentido común.

Ecuaciones logarítmicas paso a paso

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece dentro de al menos un logaritmo. Por ejemplo, log(x) + log(x - 3) = 1.

El método en cinco pasos

Prácticamente todas se resuelven con el mismo procedimiento:

Paso 1. Determina el dominio (opcional pero muy recomendable). Escribe las condiciones que deben cumplir los argumentos para ser positivos. Si lo haces al principio, al final sabes exactamente qué soluciones aceptar.

Paso 2. Agrupa todos los logaritmos en un solo miembro y usa las propiedades para reducirlos a un único logaritmo en cada lado. Sumas de logaritmos se convierten en un producto, restas en un cociente, coeficientes se meten como exponentes.

Paso 3. Elimina los logaritmos. Hay dos situaciones:

• Si te queda log_a(A) = log_a(B) con la misma base, entonces A = B. La función logarítmica es inyectiva (nunca repite valores), así que si los logaritmos son iguales, los argumentos lo son.
• Si te queda log_a(A) = k, un número, aplica la definición: A = a^k.

Paso 4. Resuelve la ecuación resultante, que normalmente es de primer o de segundo grado. Si es de segundo grado y no la tienes dominada, repasa nuestra guía de ecuaciones de segundo grado.

Paso 5. COMPRUEBA cada solución en la ecuación original. Sustituye y verifica que ningún argumento sale negativo o cero. Las que fallen, se rechazan.

Por qué la comprobación no es opcional

Este es el punto donde se decide la nota. Cuando aplicas la propiedad del producto y escribes log(x) + log(x-3) = log(x·(x-3)), estás haciendo algo sutil: el miembro derecho tiene un dominio más amplio que el izquierdo.

Míralo con calma. El miembro izquierdo exige que x > 0 y que x - 3 > 0, es decir, x > 3. El miembro derecho solo exige que el producto x(x-3) sea positivo, lo cual también ocurre cuando los dos factores son negativos, es decir, cuando x < 0.

Al aplicar la propiedad, hemos "colado" soluciones que no valían. Por eso aparecen esas soluciones extrañas que hay que descartar. No es un capricho del corrector: una solución negativa haría que en la ecuación original apareciese el logaritmo de un número negativo, que sencillamente no existe.

Regla práctica: en una ecuación logarítmica, todo resultado negativo es sospechoso, y todo resultado debe sustituirse en la ecuación de partida.

Ejemplo resuelto tipo 1: aplicar la definición

Resuelve log_2(3x - 5) = 4.

Paso 1. Dominio: 3x - 5 > 0, o sea x > 5/3.

Paso 2. Ya hay un solo logaritmo.

Paso 3. Aplicamos la definición: si log_2(3x - 5) = 4, entonces 3x - 5 = 2^4 = 16.

Paso 4. 3x = 21, luego x = 7.

Paso 5. Comprobación: 3·7 - 5 = 16, que es positivo. Y log_2(16) = 4. Correcto.

Ejemplo resuelto tipo 2: suma de logaritmos

Resuelve log(x) + log(x - 3) = 1.

Paso 1. Dominio: necesitamos x > 0 y x - 3 > 0. La condición más restrictiva manda: x > 3.

Paso 2. Aplicamos la propiedad del producto: log(x · (x - 3)) = 1.

Paso 3. Como es logaritmo decimal, la base es 10: x(x - 3) = 10^1 = 10.

Paso 4. Desarrollamos: x² - 3x = 10, es decir, x² - 3x - 10 = 0. Aplicamos la fórmula general:

x = (3 ± raíz de (9 + 40)) / 2 = (3 ± raíz de 49) / 2 = (3 ± 7) / 2

Las dos soluciones son x = 10/2 = 5 y x = -4/2 = -2.

Paso 5. Comprobación. La solución x = -2 se rechaza: no cumple x > 3 y, de hecho, log(-2) no existe. La solución x = 5 sí es válida: log(5) + log(2) = log(10) = 1. Correcto.

Solución: x = 5.

Ejemplo resuelto tipo 3: resta de logaritmos

Resuelve log(x + 6) - log(x - 3) = 1.

Dominio: x > -6 y x > 3, luego x > 3.

Propiedad del cociente: log((x + 6) / (x - 3)) = 1.

Definición: (x + 6) / (x - 3) = 10.

Multiplicamos en cruz: x + 6 = 10(x - 3) = 10x - 30. Reagrupando: 36 = 9x, luego x = 4.

Comprobación: log(4 + 6) - log(4 - 3) = log(10) - log(1) = 1 - 0 = 1. Correcto, y además x = 4 cumple x > 3.

Ejemplo resuelto tipo 4: coeficiente delante del logaritmo

Resuelve 2·log(x) = log(x + 6).

Dominio: x > 0 y x > -6, luego x > 0.

Metemos el 2 como exponente (propiedad de la potencia): log(x²) = log(x + 6).

Como los dos miembros son logaritmos de la misma base, igualamos argumentos: x² = x + 6, es decir, x² - x - 6 = 0.

x = (1 ± raíz de (1 + 24)) / 2 = (1 ± 5) / 2, luego x = 3 o x = -2.

Comprobación: x = -2 se rechaza porque log(-2) no existe. x = 3 es válida: 2·log(3) = log(9), y log(3 + 6) = log(9). Correcto.

Solución: x = 3.

Ejemplo resuelto tipo 5: cambio de variable

Cuando el logaritmo aparece elevado al cuadrado, la técnica es distinta.

Resuelve (log x)² - 3·log(x) + 2 = 0.

Ojo con la notación: (log x)² significa el logaritmo elevado al cuadrado, no el logaritmo de x². Son cosas muy diferentes.

Hacemos el cambio t = log(x). La ecuación se convierte en t² - 3t + 2 = 0, una ecuación de segundo grado normal:

t = (3 ± raíz de (9 - 8)) / 2 = (3 ± 1) / 2, luego t = 2 o t = 1.

Deshacemos el cambio:

• Si log(x) = 2, entonces x = 10² = 100.
• Si log(x) = 1, entonces x = 10¹ = 10.

Comprobación con x = 100: (log 100)² - 3·log(100) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0. Correcto. Comprobación con x = 10: 1 - 3 + 2 = 0. Correcto.

Soluciones: x = 10 y x = 100. Aquí las dos son válidas, porque las dos son positivas.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

También pueden pedirte sistemas. Se resuelven convirtiendo primero las ecuaciones logarítmicas en algebraicas y aplicando después los métodos de siempre (sustitución, igualación o reducción).

Resuelve el sistema: log(x) + log(y) = 3 ; x - y = 15.

De la primera: log(xy) = 3, luego xy = 1000.

De la segunda: x = y + 15. Sustituimos: (y + 15)·y = 1000, o sea y² + 15y - 1000 = 0.

y = (-15 ± raíz de (225 + 4000)) / 2 = (-15 ± raíz de 4225) / 2 = (-15 ± 65) / 2

Las soluciones son y = 25 e y = -40. Rechazamos y = -40 porque log(-40) no existe.

Con y = 25, tenemos x = 40. Comprobación: 40 · 25 = 1000, y log(1000) = 3. Además 40 - 25 = 15. Correcto.

Solución: x = 40, y = 25.

Ecuaciones exponenciales que se resuelven con logaritmos

Una ecuación exponencial tiene la incógnita en el exponente: 2^x = 32, 3^(x+1) = 20, e^(2x) = 15. Hay dos escenarios muy distintos.

Escenario A: se pueden igualar las bases

Si consigues escribir los dos miembros como potencias de la misma base, iguala los exponentes y listo. No hacen falta logaritmos.

Resuelve 2^x = 32. Como 32 = 2^5, tenemos 2^x = 2^5, luego x = 5.

Resuelve 3^(2x-1) = 81. Como 81 = 3^4: 2x - 1 = 4, luego 2x = 5 y x = 2,5.

Resuelve 5^x = 1/125. Como 1/125 = 5^(-3): x = -3.

Escenario B: no se pueden igualar las bases

Entonces tomas logaritmos en los dos miembros (puedes usar cualquier base; lo cómodo es decimal o neperiano) y aplicas la propiedad de la potencia para bajar el exponente.

Resuelve 2^x = 10.

Tomamos logaritmos decimales: log(2^x) = log(10), es decir, x·log(2) = 1.

Despejamos: x = 1 / 0,30103 = 3,3219.

¿Tiene sentido? 2^3 = 8 y 2^4 = 16, así que x debe estar entre 3 y 4. Encaja.

Resuelve 3^(x+1) = 20.

Tomamos logaritmos neperianos: (x + 1)·ln(3) = ln(20).

x + 1 = ln(20) / ln(3) = 2,99573 / 1,09861 = 2,72683

x = 1,72683.

Comprobación aproximada: 3^2,72683 = e^(2,72683 · 1,09861) = e^2,99573 = 20. Correcto.

Resuelve 5^(2x) = 7^(x+1).

Aquí hay bases distintas en los dos lados, así que los logaritmos son obligatorios. Tomamos logaritmos neperianos:

2x·ln(5) = (x + 1)·ln(7)

2x · 1,60944 = (x + 1) · 1,94591

3,21888x = 1,94591x + 1,94591

3,21888x - 1,94591x = 1,94591

1,27297x = 1,94591

x = 1,52864.

Resuelve e^(3x - 1) = 12.

Cuando la base es e, usa siempre el logaritmo neperiano, porque ln(e^n) = n directamente:

3x - 1 = ln(12) = 2,48491

3x = 3,48491

x = 1,16164.

Escenario C: ecuaciones exponenciales con cambio de variable

Resuelve 2^(2x) - 5·2^x + 4 = 0.

Observa que 2^(2x) = (2^x)². Hacemos el cambio t = 2^x:

t² - 5t + 4 = 0

t = (5 ± raíz de (25 - 16)) / 2 = (5 ± 3) / 2, luego t = 4 o t = 1.

Deshacemos:

• 2^x = 4 → x = 2.
• 2^x = 1 → x = 0.

Soluciones: x = 0 y x = 2. Aquí no hay que rechazar nada por dominio, porque la exponencial admite cualquier x. Eso sí: si al deshacer el cambio te sale 2^x = -3, esa rama no tiene solución, porque una exponencial de base positiva nunca da un resultado negativo.

Resuelve 2^(x+1) + 2^x = 96.

Truco: 2^(x+1) = 2^x · 2. Sacamos factor común 2^x:

2^x · (2 + 1) = 96, es decir, 3 · 2^x = 96, luego 2^x = 32 y x = 5.

Comprobación: 2^6 + 2^5 = 64 + 32 = 96. Correcto.

Aplicaciones reales de los logaritmos

Esta sección responde a la pregunta que todo alumno hace en clase: "¿y esto para qué sirve?". Los logaritmos aparecen siempre que un fenómeno abarca rangos enormes o crece de forma multiplicativa.

La escala Richter (magnitud de terremotos)

La magnitud de un terremoto se define, en su formulación original, como:

M = log(A / A_0)

donde A es la amplitud máxima registrada por el sismógrafo y A_0 es una amplitud de referencia. Al ser logaritmo decimal, cada punto de magnitud multiplica por 10 la amplitud del movimiento del suelo.

Un terremoto de magnitud 7,2 no es "un poco peor" que uno de 5,2. La diferencia es de 2 puntos, así que la amplitud es 10^2 = 100 veces mayor.

Y con la energía liberada es todavía más brutal. La relación aproximada entre energía y magnitud es log(E) = 11,8 + 1,5·M (con E en ergios), lo que significa que cada punto de magnitud multiplica la energía por 10^1,5 ≈ 31,6. Esos dos puntos de diferencia equivalen entonces a 10^(1,5·2) = 10^3 = 1.000 veces más energía.

Por eso los medios se equivocan tanto al hablar de terremotos: la escala es logarítmica, y nuestra intuición es lineal.

El pH en química

El pH mide la acidez de una disolución a partir de la concentración de iones hidrógeno [H+], medida en moles por litro:

pH = -log([H+])

El signo menos está ahí porque las concentraciones son muy pequeñas (del orden de 10^(-7)) y así el pH sale positivo y manejable.

• Agua pura: [H+] = 10^(-7) mol/L, luego pH = -log(10^(-7)) = 7. Neutro.
• Zumo de limón: pH ≈ 2,4, luego [H+] = 10^(-2,4) = 3,98·10^(-3) mol/L.
• Amoniaco doméstico: pH ≈ 11, luego [H+] = 10^(-11) mol/L.

Igual que en Richter, cada unidad de pH supone un factor 10 en concentración. Un refresco de pH 3 es diez veces más ácido que un café de pH 4, y cien veces más ácido que la cerveza de pH 5. Esta es la parte del temario de química donde los logaritmos aparecen sin avisar, y por eso conviene llevarlos bien de matemáticas antes.

Interés compuesto: ¿cuánto tardo en duplicar mi dinero?

La fórmula del capital final con interés compuesto es:

C = C_0 · (1 + i)^t

donde C_0 es el capital inicial, i el tipo de interés en tanto por uno y t el número de periodos. Si lo que quieres calcular es C, basta con una potencia. Pero si lo que buscas es el tiempo, la incógnita está en el exponente, y ahí solo hay una herramienta: los logaritmos.

Despejamos t tomando logaritmos:

log(C) = log(C_0) + t·log(1 + i)

t = [log(C) - log(C_0)] / log(1 + i) = log(C / C_0) / log(1 + i)

Ejemplo 1. Inviertes 1.000 € al 3 % anual. ¿Cuándo tendrás 2.000 €?

t = log(2) / log(1,03) = 0,30103 / 0,012837 = 23,45 años

(Como curiosidad: la famosa "regla del 72" dice que el tiempo de duplicación es aproximadamente 72 dividido entre el tipo de interés en porcentaje. Aquí daría 72/3 = 24 años, muy cerca del valor exacto. La regla funciona precisamente porque es una aproximación del logaritmo.)

Ejemplo 2. Tienes 8.000 € al 5 % anual. ¿Cuándo llegarás a 12.000 €?

t = log(12000/8000) / log(1,05) = log(1,5) / log(1,05) = 0,176091 / 0,0211893 = 8,31 años

Decibelios: el nivel de sonido

El oído humano percibe un rango de intensidades sonoras que va desde 10^(-12) W/m² (el umbral de audición) hasta 1 W/m² (el umbral de dolor). Son doce órdenes de magnitud. Manejar esa escala en lineal sería un desastre, así que se usa:

L = 10 · log(I / I_0), con I_0 = 10^(-12) W/m²

Una conversación normal de 60 dB corresponde a I = 10^(-6) W/m². Y aquí hay un dato contraintuitivo: duplicar la intensidad del sonido solo sube 3 dB, porque 10·log(2) = 3,01. Por eso dos altavoces idénticos no suenan "el doble de fuerte" que uno.

Desintegración radiactiva y datación por carbono-14

La cantidad de material radiactivo que queda tras un tiempo t sigue una ley exponencial. Con el carbono-14, cuyo periodo de semidesintegración es de 5.730 años:

N = N_0 · (1/2)^(t / 5730)

Si un fósil conserva el 10 % del carbono-14 original, ¿cuántos años tiene? Despejamos con logaritmos:

0,1 = (1/2)^(t/5730)

log(0,1) = (t/5730) · log(0,5)

t = 5730 · log(0,1) / log(0,5) = 5730 · (-1) / (-0,30103) = 5730 · 3,3219 = 19.034 años

Esta es, literalmente, la matemática con la que se datan los yacimientos arqueológicos.

16 ejercicios resueltos, de menos a más

Aquí tienes la batería de práctica. Intenta hacerlos tapando la solución; solo así se aprende.

Nivel 1: cálculo directo

Ejercicio 1. Calcula log_2(64).

Preguntamos: ¿2 elevado a qué da 64? Como 2^6 = 64, la respuesta es 6.

Ejercicio 2. Calcula log_3(1/27).

1/27 = 3^(-3), luego log_3(1/27) = -3.

Ejercicio 3. Calcula log_5(raíz cuadrada de 5).

La raíz cuadrada de 5 es 5^(1/2), así que log_5(5^(1/2)) = 1/2.

Ejercicio 4. Resuelve log_4(x) = 3.

Por definición: x = 4^3 = 64.

Ejercicio 5. Halla la base: log_a(49) = 2.

Por definición, a^2 = 49, luego a = 7 (rechazamos a = -7 porque la base debe ser positiva). a = 7.

Nivel 2: aplicar propiedades

Ejercicio 6. Expresa como un único logaritmo: 2·log(a) + 3·log(b) - log(c).

Metemos los coeficientes como exponentes: log(a²) + log(b³) - log(c).

Sumas → producto, restas → cociente:

log(a² · b³ / c)

Ejercicio 7. Desarrolla log(x³ · raíz de y / z²).

Aplicando cociente y producto:

log(x³) + log(y^(1/2)) - log(z²) = 3·log(x) + (1/2)·log(y) - 2·log(z)

Ejercicio 8. Sabiendo que log(2) = 0,3010 y log(3) = 0,4771, calcula sin calculadora log(12), log(72), log(0,5) y log(raíz de 6).

• log(12) = log(4·3) = log(2²) + log(3) = 2(0,3010) + 0,4771 = 0,6020 + 0,4771 = 1,0791
• log(72) = log(8·9) = log(2³) + log(3²) = 3(0,3010) + 2(0,4771) = 0,9030 + 0,9542 = 1,8572
• log(0,5) = log(1/2) = -log(2) = -0,3010
• log(raíz de 6) = (1/2)·log(6) = (1/2)·[log(2) + log(3)] = (1/2)(0,7781) = 0,38905

Ejercicio 9. Calcula log_7(50) con la calculadora.

Cambio de base: log_7(50) = ln(50) / ln(7) = 3,91202 / 1,94591 = 2,0104

Verificación de sentido: 7^2 = 49, muy cerca de 50, así que el resultado debe ser algo más de 2. Encaja.

Nivel 3: ecuaciones logarítmicas

Ejercicio 10. Resuelve log(x) + log(x - 15) = 2.

Dominio: x > 15.

Propiedad del producto: log(x(x - 15)) = 2, luego x(x - 15) = 10² = 100.

x² - 15x - 100 = 0

x = (15 ± raíz de (225 + 400)) / 2 = (15 ± raíz de 625) / 2 = (15 ± 25) / 2

x = 20 o x = -5. Rechazamos x = -5 (no cumple el dominio).

Comprobación: log(20) + log(5) = log(100) = 2. Correcto. x = 20.

Ejercicio 11. Resuelve log_3(x + 1) + log_3(x - 1) = 1.

Dominio: x > 1.

log_3((x+1)(x-1)) = 1, luego x² - 1 = 3^1 = 3, es decir, x² = 4 y x = ±2.

Rechazamos x = -2. Comprobación con x = 2: log_3(3) + log_3(1) = 1 + 0 = 1. Correcto. x = 2.

Ejercicio 12. Resuelve 3·log(x) - log(32) = log(x/2).

Dominio: x > 0.

Miembro izquierdo: log(x³) - log(32) = log(x³/32).

Igualamos argumentos: x³/32 = x/2. Multiplicamos por 32: x³ = 16x, es decir, x³ - 16x = 0, o x(x² - 16) = 0.

Soluciones candidatas: x = 0, x = 4, x = -4. Rechazamos x = 0 y x = -4 por el dominio.

Comprobación con x = 4: 3·log(4) - log(32) = log(64) - log(32) = log(2). Y log(4/2) = log(2). Correcto. x = 4.

Ejercicio 13. Resuelve (log x)² = log(x²).

Cuidado con la trampa de notación. El miembro derecho es log(x²) = 2·log(x).

Con t = log(x): t² = 2t, luego t² - 2t = 0 y t(t - 2) = 0. Por tanto t = 0 o t = 2.

• log(x) = 0 → x = 1.
• log(x) = 2 → x = 100.

Comprobación con x = 1: (0)² = 0 y log(1) = 0. Correcto. Con x = 100: (2)² = 4 y log(10000) = 4. Correcto.

Soluciones: x = 1 y x = 100.

Nivel 4: exponenciales y mixtas

Ejercicio 14. Resuelve 7^(x-2) = 40.

Tomamos logaritmos neperianos: (x - 2)·ln(7) = ln(40).

x - 2 = 3,68888 / 1,94591 = 1,89566

x = 3,89566.

Ejercicio 15. Resuelve e^(3x - 1) = 12. (Repetimos este porque cae mucho.)

3x - 1 = ln(12) = 2,48491, luego 3x = 3,48491 y x = 1,16164.

Ejercicio 16. Resuelve el sistema: log(x) - log(y) = 1 ; x + y = 55.

De la primera: log(x/y) = 1, luego x/y = 10, es decir, x = 10y.

Sustituimos en la segunda: 10y + y = 55, luego 11y = 55 e y = 5. Por tanto x = 50.

Comprobación: log(50) - log(5) = log(10) = 1. Y 50 + 5 = 55. Correcto. x = 50, y = 5.

Si al hacer estos ejercicios te has quedado atascado en alguno y no sabías por dónde seguir, ese es exactamente el momento en el que un tutor marca la diferencia. En Profe 24/7 puedes plantear el ejercicio concreto y recibir la explicación paso a paso al momento, en lugar de esperar a la clase del jueves para preguntar.

Los ocho errores típicos con logaritmos

Estos son los fallos que más puntos cuestan. Reconocerlos vale tanto como aprenderse las propiedades.

Error 1: pensar que el logaritmo de una suma es la suma de logaritmos.

log(x + y) NO es log(x) + log(y).

Comprobémoslo con números: log(2 + 8) = log(10) = 1, mientras que log(2) + log(8) = 0,3010 + 0,9031 = 1,2041. No coinciden. Y recuerda que log(2) + log(8) sí es igual a log(16), que vale 1,2041.

Este error, además, no tiene arreglo: el logaritmo de una suma no se puede desarrollar. Si en un ejercicio te aparece log(x + 3), tiene que quedarse así.

Error 2: confundir (log x)² con log(x²).

(log x)² es el logaritmo elevado al cuadrado. log(x²) es 2·log(x). Con x = 100: (log 100)² = 2² = 4, mientras que log(100²) = log(10000) = 4. ¡Coinciden por casualidad! Prueba con x = 1000: (log 1000)² = 9, y log(1000²) = 6. Ya no coinciden. La casualidad con 100 es justo lo que hace peligroso este error.

Error 3: no comprobar las soluciones. Ya lo hemos machacado, pero merece repetirse: si dejas x = -2 como solución de una ecuación logarítmica, la respuesta está mal aunque todo el desarrollo sea impecable.

Error 4: creer que un logaritmo negativo es imposible. Lo imposible es el logaritmo de un número negativo. El resultado sí puede ser negativo: log(0,01) = -2 es perfectamente correcto, porque 0,01 es positivo.

Error 5: dividir logaritmos creyendo que es una propiedad.

log(x) / log(y) NO es log(x - y) ni log(x/y). La resta de logaritmos es log(x/y); el cociente de logaritmos es un cambio de base, que es otra cosa completamente distinta.

Error 6: olvidar que un coeficiente afecta a todo el logaritmo.

En 2·log(x + 1), el 2 multiplica al logaritmo completo, así que se convierte en log((x+1)²), no en log(x² + 1).

Error 7: usar la calculadora en el modo equivocado. La tecla "log" es base 10 y la tecla "ln" es base e. Si el ejercicio pide log_2 y pulsas "log", el resultado será erróneo. Usa siempre el cambio de base.

Error 8: perder la referencia del sentido común. Antes de dar una solución, pregúntate si es razonable. Si te sale log_2(100) = 15, algo falla: 2^15 es 32.768, muy lejos de 100. El resultado correcto está entre 6 y 7.

Plan de 5 días para dominar los logaritmos

Este tema entra bien si lo trabajas en orden y sin saltarte etapas. Cinco sesiones de unos 45-60 minutos bastan para llegar al examen con solvencia.

Día 1: la definición y la traducción. No toques todavía ninguna propiedad. Dedica la sesión entera a convertir entre forma exponencial y logarítmica en los dos sentidos: escribe veinte igualdades como 3^4 = 81 y tradúcelas, y otras veinte al revés. Calcula treinta logaritmos inmediatos mentalmente. El objetivo del día es que log_a(x) = y ↔ a^y = x sea un reflejo.

Día 2: las propiedades, con demostración. Escribe tú mismo las demostraciones de las cuatro propiedades sin mirar. Luego haz veinte ejercicios de "expresa como un solo logaritmo" y otros veinte de "desarrolla la expresión". Termina con ejercicios del tipo "sabiendo log(2) y log(3), calcula log(N)", que son los que mejor consolidan.

Día 3: la función logarítmica. Dibuja a mano la gráfica de log_2(x), de log(x) y de log_(1/2)(x) con tablas de valores. Localiza dominio, recorrido, corte con los ejes, crecimiento y asíntota. Compara cada una con su exponencial correspondiente. Este día parece "menos rentable" para el examen, pero es el que te da el criterio para detectar soluciones absurdas.

Día 4: ecuaciones logarítmicas. Doce ecuaciones, siempre con los cinco pasos y siempre escribiendo el dominio al principio y la comprobación al final. Incluye al menos tres con soluciones que haya que rechazar y dos con cambio de variable. Si en algún momento no sabes qué propiedad aplicar, para y vuelve al día 2.

Día 5: exponenciales, aplicaciones y examen simulado. Ocho ecuaciones exponenciales (mitad igualando bases, mitad con logaritmos), dos problemas de interés compuesto y uno de pH o Richter. Después, ponte un cronómetro y haz un examen completo del tema con ejercicios que no hayas visto. Corrígelo con severidad: los fallos que detectes hoy son los que no cometerás el día del examen.

Si el tema se te está atragantando o vas justo de tiempo, este es el tipo de plan que en Profe 24/7 se adapta automáticamente a tu ritmo: el tutor detecta en qué paso concreto te bloqueas (definición, propiedades o comprobación de soluciones) y refuerza justo ahí en lugar de hacerte repetir lo que ya dominas.

Dónde encajan los logaritmos en tu curso

En Matemáticas de 4º de la ESO, especialmente en la modalidad de Académicas, los logaritmos aparecen como una introducción: definición, propiedades básicas y algún ejercicio sencillo de cálculo. No suele haber ecuaciones complicadas.

En 1º de Bachillerato es donde el tema se desarrolla en serio: propiedades completas, cambio de base, función logarítmica con su gráfica, ecuaciones logarítmicas y exponenciales, y sistemas. Es un tema de examen completo, y además se usa después en el bloque de funciones y en los límites.

En 2º de Bachillerato los logaritmos dejan de ser un tema para convertirse en una herramienta que se da por sabida. La derivada de ln(x), la derivación logarítmica, los límites del tipo indeterminado 1^infinito, las integrales que dan logaritmos... todo eso asume que dominas las propiedades. Un alumno que llega a segundo sin tenerlas automatizadas pierde tiempo en cada ejercicio de análisis. Si estás preparando la EBAU, en nuestra guía sobre cómo preparar la selectividad verás el peso real que tiene el bloque de análisis en el examen.

Y si lo que te falla no es este tema en concreto sino el método de estudio de la asignatura entera, échale un vistazo a cómo aprobar matemáticas: la mayoría de los suspensos en matemáticas no vienen de no entender, sino de no practicar con la estructura adecuada.

Preguntas frecuentes sobre logaritmos

¿Por qué no existe el logaritmo de un número negativo?

Porque el logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar una base positiva para obtener el argumento, y una base positiva elevada a cualquier exponente real da siempre un resultado positivo. Ni siquiera con exponentes muy negativos: 2^(-50) es diminuto, pero positivo. Por eso log(-5) no existe en los números reales.

¿Qué diferencia hay entre log y ln?

"log" sin base indica logaritmo decimal, en base 10, y es el que usan las escalas Richter, pH y decibelios. "ln" es el logaritmo neperiano o natural, en base e ≈ 2,71828, y es el que se usa en cálculo porque su derivada es 1/x. Ambos cumplen exactamente las mismas propiedades; solo cambia la base.

¿Cuánto vale log(0)?

No existe. Es el caso límite de la restricción del dominio: no hay ningún exponente al que elevar 10 para obtener cero. Lo que sí ocurre es que, al acercarse x a cero por la derecha, log(x) tiende a menos infinito. Por eso la función logarítmica tiene una asíntota vertical en x = 0.

¿Por qué hay que comprobar las soluciones en las ecuaciones logarítmicas?

Porque al aplicar las propiedades, sobre todo la del producto, ampliamos el dominio de la expresión sin darnos cuenta. Eso introduce soluciones que resuelven la ecuación transformada pero no la original, ya que harían que apareciera el logaritmo de un número negativo o de cero. Sustituir en la ecuación de partida las detecta.

¿Se pueden simplificar los logaritmos de una suma?

No. log(x + y) no se puede desarrollar de ninguna forma: no existe ninguna propiedad para la suma dentro del argumento. Las propiedades solo funcionan con productos, cocientes y potencias. Si en un ejercicio aparece log(x + 3), esa expresión se queda tal cual hasta que puedas factorizar el argumento.

¿Para qué sirve el cambio de base si la calculadora ya tiene log y ln?

Precisamente para eso: la calculadora solo trae base 10 y base e, pero los ejercicios piden logaritmos en base 2, 3, 5 o 7. Con log_a(x) = ln(x)/ln(a) resuelves cualquier base. También sirve para unificar bases distintas dentro de una misma ecuación antes de operar.

¿Cómo sé si una ecuación exponencial necesita logaritmos?

Intenta primero escribir los dos miembros como potencias de la misma base. Si lo consigues, como en 2^x = 32 = 2^5, igualas exponentes y no necesitas logaritmos. Si las bases no se pueden igualar, como en 2^x = 10 o 5^(2x) = 7^(x+1), tomas logaritmos en ambos miembros y bajas los exponentes.

¿Los logaritmos entran en la EBAU?

Sí, aunque casi nunca como pregunta aislada. Aparecen integrados en derivadas de funciones logarítmicas, derivación logarítmica, límites con indeterminación 1^infinito, integrales inmediatas del tipo 1/x y problemas de optimización con modelos exponenciales. Llegar a segundo con las propiedades automatizadas es un ahorro de tiempo enorme en el examen.

Conclusión: un tema que se entiende, no se memoriza

Si has llegado hasta aquí, ya tienes lo esencial: un logaritmo es una pregunta sobre exponentes, las propiedades son las reglas de las potencias leídas al revés, la función logarítmica crece muy despacio y tiene una asíntota en x = 0, y las ecuaciones logarítmicas se resuelven agrupando, eliminando logaritmos y comprobando siempre.

La diferencia entre un alumno que suspende y uno que saca un 8 en este tema rara vez está en la inteligencia. Está en dos hábitos muy concretos: traducir mentalmente cada logaritmo a su forma exponencial cuando surge la duda, y no dar por terminada ninguna ecuación sin sustituir las soluciones. Con esos dos automatismos, el tema deja de dar miedo.

Y si en algún ejercicio concreto te bloqueas (que te vas a bloquear, le pasa a todo el mundo), lo peor que puedes hacer es dejarlo pasar y confiar en que en el examen no caiga algo parecido. Con Profe 24/7 puedes preguntar ese ejercicio exacto a cualquier hora, ver el desarrollo paso a paso y, sobre todo, entender por qué cada paso es el que es. Que es de lo que va realmente estudiar matemáticas.