Teorema de Pitágoras: fórmula, ejemplos y ejercicios resueltos

TL;DR

El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo, el que está enfrente del ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. La fórmula del teorema de Pitágoras es a² + b² = c², donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa. Sirve para calcular un lado conociendo los otros dos. Para calcular la hipotenusa sumas los cuadrados de los catetos y haces la raíz: c = √(a² + b²). Para calcular un cateto despejas y restas: b = √(c² − a²). El ejemplo clásico es el triángulo 3-4-5, porque 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Solo funciona en triángulos rectángulos.

Si estás en 2º o 3º de la ESO, el teorema de Pitágoras es uno de los primeros temas de geometría que vas a usar una y otra vez: en problemas de áreas, en trigonometría más adelante, en física, e incluso en la vida real (medir distancias, comprobar que una esquina está en ángulo recto, calcular la diagonal de una pantalla). Es, además, uno de los temas más agradecidos de las matemáticas: hay una sola fórmula, los pasos son casi siempre los mismos y, cuando lo automatizas, se convierte en puntos casi seguros en el examen.

El secreto no es memorizar la fórmula de carrerilla (eso lo hace todo el mundo), sino entender qué representa cada letra y, sobre todo, identificar bien la hipotenusa antes de ponerte a calcular. El error número uno de la ESO es confundir un cateto con la hipotenusa, sumar cuando había que restar y quedarse sin la mitad del problema. En esta guía vamos a ir despacio: qué es un triángulo rectángulo, qué dice exactamente el teorema, por qué es cierto, cómo calcular la hipotenusa, cómo calcular un cateto, qué hacer cuando el resultado no es exacto, qué son las ternas pitagóricas, cómo saber si un triángulo es rectángulo y un montón de ejercicios resueltos paso a paso y comprobados.

No hace falta que se te den especialmente bien las matemáticas. Hace falta entender el procedimiento y practicarlo. Vamos a ello.

Qué es un triángulo rectángulo

El teorema de Pitágoras solo funciona en triángulos rectángulos, así que lo primero es tener clarísimo qué es uno.

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados (el típico ángulo "en escuadra", el de la esquina de una hoja de papel o de una mesa). En geometría, ese ángulo recto se suele marcar con un cuadradito en el vértice, en lugar del arquito que se usa para los demás ángulos.

Como los tres ángulos de cualquier triángulo suman siempre 180°, si uno de ellos mide 90°, los otros dos tienen que sumar entre los dos otros 90°. Por eso un triángulo rectángulo solo puede tener un ángulo recto: si tuviera dos, ya sumarían 180° él solos y no quedaría sitio para el tercero.

Catetos e hipotenusa: cómo identificarlos

En un triángulo rectángulo, los tres lados tienen nombre, y aprender a distinguirlos es la mitad del trabajo:

• Los catetos son los dos lados que forman el ángulo recto. Son los dos lados "cortos" (o, al menos, nunca el más largo). En la fórmula los llamamos a y b.
• La hipotenusa es el lado que está enfrente del ángulo recto (el que no toca el cuadradito del ángulo de 90°). Es siempre el lado más largo del triángulo. En la fórmula la llamamos c.

Una forma infalible de no equivocarte: busca el ángulo recto (el cuadradito). Los dos lados que salen de ese ángulo y lo forman son los catetos. El lado que queda "al otro lado", el que cierra el triángulo sin tocar el ángulo recto, es la hipotenusa.

Dos trucos para recordarlo:

1. La hipotenusa siempre es el lado más largo. Si te dan tres números y uno es claramente mayor, ese es candidato a hipotenusa.
2. La hipotenusa nunca toca el ángulo recto. Los catetos sí: son los que lo "abren".

Quédate con esta idea, porque vamos a repetirla mucho: en la fórmula a² + b² = c², las letras a y b son siempre los catetos y la letra c es siempre la hipotenusa. Confundirlas es el error que más nota cuesta en los exámenes de la ESO.

El enunciado del teorema de Pitágoras

Ya podemos enunciar el teorema con todas las letras. Dice así:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

"El cuadrado de" significa "elevado al cuadrado", es decir, multiplicado por sí mismo. Y "la suma de los cuadrados" significa que elevamos cada cateto al cuadrado y luego sumamos los dos resultados. Traducido a símbolos, eso es exactamente la fórmula del teorema de Pitágoras.

La fórmula a² + b² = c²

La fórmula que tienes que reconocer, memorizar y entender es:

a² + b² = c²

Donde:

• a y b son los catetos (los dos lados que forman el ángulo recto).
• c es la hipotenusa (el lado más largo, enfrente del ángulo recto).

Léela siempre en voz alta como lo que es: "cateto al cuadrado más cateto al cuadrado igual a hipotenusa al cuadrado". Si la lees así, nunca pondrás la hipotenusa en el sitio equivocado.

Como los catetos a y b se suman, da igual el orden en que los pongas: a² + b² es lo mismo que b² + a². Lo único que no puedes cambiar de sitio es la hipotenusa: la c (el lado más largo) tiene que ir siempre sola en su lado de la igualdad, elevada al cuadrado.

Verás la fórmula escrita de varias formas, todas equivalentes:

• a² + b² = c² (la más común en España).
• c² = a² + b² (la misma, dándole la vuelta a la igualdad).
• h² = c₁² + c₂² (algunos libros usan h para la hipotenusa y c₁, c₂ para los catetos).

Todas dicen lo mismo. En este artículo usaremos a y b para los catetos y c para la hipotenusa, que es lo más habitual.

Por qué se cumple el teorema (la explicación visual)

No hace falta demostrar el teorema para usarlo, pero entender por qué es cierto ayuda muchísimo a no olvidarlo y a no confundir las letras. Y, además, suele caer una pregunta de "explica por qué" en los exámenes.

La forma más intuitiva de verlo es con cuadrados dibujados sobre los lados del triángulo. Imagina un triángulo rectángulo y dibuja un cuadrado "pegado" a cada uno de sus tres lados, usando cada lado como base del cuadrado:

• Sobre el cateto a dibujas un cuadrado de lado a. Su área es a².
• Sobre el cateto b dibujas un cuadrado de lado b. Su área es b².
• Sobre la hipotenusa c dibujas un cuadrado de lado c. Su área es c².

Lo que dice el teorema de Pitágoras, en términos de áreas, es que el cuadrado grande (el de la hipotenusa) tiene exactamente la misma superficie que los dos cuadrados de los catetos juntos. Es decir: si recortaras los dos cuadrados pequeños, podrías rellenar con ellos justo el cuadrado grande. Por eso a² + b² = c²: estamos sumando áreas.

Un ejemplo con números para verlo claro

Tomemos el triángulo más famoso, el de catetos 3 y 4 e hipotenusa 5:

• Cuadrado sobre el cateto de 3 → área = 3² = 9.
• Cuadrado sobre el cateto de 4 → área = 4² = 16.
• Cuadrado sobre la hipotenusa de 5 → área = 5² = 25.

Y, efectivamente, 9 + 16 = 25. Las áreas de los dos cuadrados pequeños (9 + 16) suman justo el área del cuadrado grande (25). Eso es, ni más ni menos, el teorema de Pitágoras "en acción".

Esta idea de "sumar áreas" es la clave para recordar que en la fórmula hay cuadrados (no los lados a secas) y que lo que se suma son los catetos, no la hipotenusa.

Para qué sirve el teorema de Pitágoras

Antes de calcular, conviene tener claro para qué lo vas a usar. El teorema sirve, básicamente, para una cosa muy potente: calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo cuando conoces los otros dos.

Eso tiene tres versiones, dependiendo de qué lado te falte:

1. Conoces los dos catetos y quieres la hipotenusa → sumas y haces raíz.
2. Conoces la hipotenusa y un cateto y quieres el otro cateto → restas y haces raíz.
3. Conoces los tres lados y quieres comprobar si el triángulo es rectángulo → usas el recíproco del teorema.

A partir de ahí, el teorema aparece en un montón de sitios: para hallar la diagonal de un rectángulo o de un cuadrado, la altura a la que llega una escalera apoyada en la pared, la distancia en línea recta entre dos puntos, la diagonal de la pantalla de un televisor o un móvil, y como base de toda la trigonometría que verás en 4º de la ESO y Bachillerato. Es, sin exagerar, una de las herramientas matemáticas que más vas a reutilizar.

La siguiente tabla resume qué calculas y qué fórmula usas en cada caso. Tenla a mano: si la entiendes, tienes el tema medio aprobado.

Fíjate en el detalle más importante de toda la tabla: cuando calculas la hipotenusa se suma (porque la hipotenusa es la mayor), y cuando calculas un cateto se resta (porque un cateto es menor que la hipotenusa). Si te equivocas y restas para la hipotenusa o sumas para un cateto, el resultado sale mal con toda seguridad.

Cómo calcular la hipotenusa paso a paso

Empecemos por el caso más sencillo y más frecuente: te dan los dos catetos y te piden la hipotenusa. Es directo, porque la fórmula ya está "preparada" para esto.

Los pasos (siempre los mismos)

1. Identifica los catetos y la hipotenusa. Asegúrate de que los dos datos que te dan son los catetos (los lados que forman el ángulo recto) y de que lo que buscas es la hipotenusa (el lado más largo, enfrente del ángulo recto).
2. Eleva cada cateto al cuadrado. Calcula a² y b².
3. Suma los dos resultados. Eso te da c², el cuadrado de la hipotenusa.
4. Haz la raíz cuadrada. Como tienes c² y quieres c, haces la raíz cuadrada: c = √(a² + b²).
5. Pon las unidades y comprueba. Escribe el resultado con sus unidades (cm, m...) y comprueba que la hipotenusa te ha salido mayor que los dos catetos. Si no, algo está mal.

Ejemplo 1: el clásico 3-4-5

Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

• Catetos: a = 3 cm, b = 4 cm. Buscamos la hipotenusa c.
• Elevamos al cuadrado: 3² = 9 y 4² = 16.
• Sumamos: 9 + 16 = 25. Esto es c².
• Hacemos la raíz: c = √25 = 5 cm.

La hipotenusa mide 5 cm. Y, en efecto, 5 es mayor que 3 y que 4, así que tiene sentido. Este es el famoso triángulo 3-4-5, el ejemplo que tienes que saberte de memoria.

Ejemplo 2: catetos de 6 y 8

Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 m y 8 m. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

• Catetos: a = 6 m, b = 8 m.
• Al cuadrado: 6² = 36 y 8² = 64.
• Sumamos: 36 + 64 = 100. Esto es c².
• Raíz: c = √100 = 10 m.

La hipotenusa mide 10 m. (Curiosidad: 6-8-10 es el triángulo 3-4-5 multiplicado por 2; por eso también sale exacto.)

Ejemplo 3: catetos de 5 y 12

Catetos de 5 y 12 (sin unidades, número puro). ¿Hipotenusa?

• Al cuadrado: 5² = 25 y 12² = 144.
• Sumamos: 25 + 144 = 169.
• Raíz: c = √169 = 13.

La hipotenusa es 13. Otro caso "redondo" muy famoso: el triángulo 5-12-13.

Ejemplo 4: cuando el resultado no es exacto

No siempre la raíz da un número "bonito". Un triángulo rectángulo tiene catetos de 2 cm y 3 cm. ¿Hipotenusa?

• Al cuadrado: 2² = 4 y 3² = 9.
• Sumamos: 4 + 9 = 13.
• Raíz: c = √13.

Aquí √13 no es un número entero ni una fracción exacta. ¿Qué hacemos? Tienes dos opciones, las dos correctas:

• Dejarlo en forma de raíz: c = √13 cm. Es la respuesta exacta y muchas veces es la que se pide.
• Dar un valor aproximado con la calculadora: √13 ≈ 3,61 cm (redondeando a dos decimales).

Fíjate en que 3,61 es mayor que 3 y que 2, así que tiene sentido. Más abajo dedicamos una sección entera a esto de los resultados no exactos, porque genera muchas dudas.

Cómo calcular un cateto paso a paso

El segundo caso: te dan la hipotenusa y un cateto, y te piden el otro cateto. Aquí hay que despejar la fórmula, y es donde más gente se equivoca, porque ahora hay que restar, no sumar.

De dónde sale la fórmula del cateto

Partimos de la fórmula de siempre:

a² + b² = c²

Imagina que conoces la hipotenusa c y el cateto a, y buscas el cateto b. Despejamos b² pasando a² al otro lado (que estaba sumando, así que pasa restando):

b² = c² − a²

Y, como queremos b (no b²), hacemos la raíz cuadrada:

b = √(c² − a²)

La idea clave: para un cateto, hipotenusa al cuadrado MENOS cateto al cuadrado. Siempre la hipotenusa primero (la grande) menos el cateto que conoces (el pequeño). Si lo haces al revés (cateto menos hipotenusa) te saldría un número negativo dentro de la raíz, lo cual es imposible y es la señal de que has confundido los lados.

Los pasos (siempre los mismos)

1. Identifica cuál es la hipotenusa (el lado más largo, el dato mayor) y cuál es el cateto que conoces.
2. Eleva al cuadrado la hipotenusa y el cateto conocido. Calcula c² y a².
3. Resta: c² − a². La hipotenusa al cuadrado MENOS el cateto al cuadrado. Esto te da b².
4. Haz la raíz cuadrada. b = √(c² − a²).
5. Comprueba que el cateto que sale es menor que la hipotenusa. Un cateto nunca puede ser mayor o igual que la hipotenusa.

Ejemplo 1: hipotenusa 10, cateto 6

Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 10 cm y un cateto de 6 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?

• Hipotenusa: c = 10 cm. Cateto conocido: a = 6 cm. Buscamos b.
• Al cuadrado: 10² = 100 y 6² = 36.
• Restamos: 100 − 36 = 64. Esto es b².
• Raíz: b = √64 = 8 cm.

El otro cateto mide 8 cm. Y 8 es menor que 10 (la hipotenusa), así que tiene sentido. Reconocerás el triángulo 6-8-10.

Ejemplo 2: hipotenusa 13, cateto 5

Hipotenusa de 13 m, un cateto de 5 m. ¿El otro cateto?

• c = 13 m, a = 5 m.
• Al cuadrado: 13² = 169 y 5² = 25.
• Restamos: 169 − 25 = 144.
• Raíz: b = √144 = 12 m.

El otro cateto mide 12 m (otra vez el triángulo 5-12-13).

Ejemplo 3: la escalera (cateto con resultado no exacto)

Una escalera de 5 m (esa es la hipotenusa) está apoyada en una pared y su base está a 2 m del muro (ese es un cateto). ¿A qué altura llega la escalera en la pared (el otro cateto)?

• Hipotenusa: c = 5 m. Cateto conocido (separación del muro): a = 2 m.
• Al cuadrado: 5² = 25 y 2² = 4.
• Restamos: 25 − 4 = 21.
• Raíz: b = √21 ≈ 4,58 m.

La escalera llega a unos 4,58 m de altura. Aquí √21 no es exacto, así que damos el valor aproximado a dos decimales. Y 4,58 es menor que 5 (la escalera), perfecto.

El error fatal: restar al revés

Imagina que en el ejemplo de la escalera hubieras hecho 2² − 5² = 4 − 25 = −21. Al intentar la raíz de un número negativo, la calculadora te da error. Eso no significa que el problema esté mal: significa que has puesto la hipotenusa y el cateto al revés. Siempre es hipotenusa² − cateto² (grande menos pequeño). Si te sale negativo, has confundido los lados.

El papel de la raíz cuadrada y los resultados no exactos

El último paso del teorema de Pitágoras casi siempre es una raíz cuadrada, así que conviene entenderla bien. La raíz cuadrada "deshace" el cuadrado: como tenemos c² (la hipotenusa al cuadrado) pero queremos c (la hipotenusa a secas), hacemos la raíz para "quitar" ese cuadrado.

Cuando la raíz sale exacta

A veces la suma o la resta da un cuadrado perfecto (un número que es el cuadrado de un entero: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169...). En esos casos la raíz es un número entero y el resultado queda "bonito":

• √25 = 5
• √100 = 10
• √169 = 13
• √144 = 12

Por eso los triángulos 3-4-5, 6-8-10 o 5-12-13 salen tan "redondos": porque las sumas dan cuadrados perfectos.

Cuando la raíz NO sale exacta

La mayoría de las veces, sin embargo, el número de dentro no es un cuadrado perfecto (por ejemplo √13, √21, √50). Entonces el resultado es un número irracional: tiene infinitos decimales que no se repiten. ¿Qué se hace? Dos opciones, las dos válidas, y el examen suele decir cuál quiere:

1. Dejar la respuesta exacta en forma de raíz: por ejemplo, √13 cm. Es matemáticamente perfecta y no pierde precisión. A veces se puede simplificar la raíz: por ejemplo, √50 = √(25·2) = 5√2.
2. Dar un valor aproximado con la calculadora, redondeando a los decimales que pidan (normalmente dos): √13 ≈ 3,61 cm.

Regla de oro del redondeo

Si te piden un número de decimales concreto (por ejemplo, "dos cifras decimales"), redondea al final, nunca a mitad de cálculo. Y recuerda: en España usamos la coma para los decimales (3,61), no el punto. Si pones 3.61 en un examen, técnicamente es la notación inglesa; mejor coma.

Comprobación rápida

Tengas raíz exacta o aproximada, siempre puedes comprobar: eleva tu resultado al cuadrado y mira si "encaja" en la fórmula. Por ejemplo, si dijiste que la hipotenusa es √13, comprueba: (√13)² = 13, y 2² + 3² = 4 + 9 = 13. ✓ Coincide, así que está bien.

Ternas pitagóricas

Una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros que cumplen el teorema de Pitágoras, es decir, que pueden ser los tres lados de un triángulo rectángulo con todos los lados enteros. La más famosa es (3, 4, 5), porque 3² + 4² = 5².

Conocer unas cuantas ternas de memoria es muy útil para los exámenes: cuando veas dos de esos números, ya sospechas el tercero sin calcular casi nada, y te sirven para comprobar al vuelo si un resultado tiene buena pinta.

Ternas "derivadas": los múltiplos

Si multiplicas todos los números de una terna por el mismo número, obtienes otra terna. Por ejemplo, a partir de (3, 4, 5):

• ×2 → (6, 8, 10)
• ×3 → (9, 12, 15)
• ×4 → (12, 16, 20)
• ×10 → (30, 40, 50)

Todas son rectángulos válidos. Por eso (6, 8, 10) y (9, 12, 15) están en la tabla: son la terna 3-4-5 "estirada". Esto es muy práctico: si en un problema ves catetos de 30 y 40, no hace falta que hagas la cuenta entera; reconoces que es el 3-4-5 por 10 y la hipotenusa es 50. (Aun así, en el examen conviene escribir el cálculo completo para que se vea el procedimiento.)

Cuidado: no todo triángulo es una terna

Que dos lados sean enteros no garantiza que el tercero también lo sea. Catetos de 2 y 3 dan hipotenusa √13, que no es entero. Las ternas pitagóricas son casos especiales bonitos, no la norma. La mayoría de las veces te saldrá una raíz no exacta, y eso es perfectamente normal.

Cómo saber si un triángulo es rectángulo (el recíproco)

Hasta ahora hemos usado el teorema "hacia delante": sabiendo que un triángulo es rectángulo, calculábamos un lado. Pero el teorema también funciona al revés, y eso se llama el recíproco del teorema de Pitágoras:

Si en un triángulo el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo (y el ángulo recto está enfrente del lado mayor).

Es decir: te dan los tres lados y tienes que decidir si el triángulo es rectángulo o no. El método es muy mecánico:

1. Identifica el lado mayor (sería la hipotenusa si fuese rectángulo). Llámalo c.
2. Calcula c² (el cuadrado del lado mayor).
3. Calcula a² + b² (la suma de los cuadrados de los otros dos lados).
4. Compara: si c² = a² + b², el triángulo es rectángulo. Si no son iguales, no lo es.

Ejemplo 1: ¿es rectángulo un triángulo de lados 9, 12 y 15?

• Lado mayor: 15. Calculamos 15² = 225.
• Suma de los otros: 9² + 12² = 81 + 144 = 225.
• Comparamos: 225 = 225. ✓

Como coinciden, el triángulo de lados 9, 12 y 15 SÍ es rectángulo.

Ejemplo 2: ¿es rectángulo un triángulo de lados 4, 5 y 6?

• Lado mayor: 6. Calculamos 6² = 36.
• Suma de los otros: 4² + 5² = 16 + 25 = 41.
• Comparamos: 36 ≠ 41. ✗

Como no coinciden (41 es mayor que 36), el triángulo de lados 4, 5 y 6 NO es rectángulo.

Pista extra (para nota)

Cuando comparas, el resultado te dice algo más:

• Si c² = a² + b² → triángulo rectángulo (ángulo de 90°).
• Si c² > a² + b² → triángulo obtusángulo (tiene un ángulo mayor de 90°).
• Si c² < a² + b² → triángulo acutángulo (todos los ángulos menores de 90°).

En el ejemplo 2, como 36 < 41 (es decir, c² < a² + b²), ese triángulo es acutángulo. No suele caer en 2º de la ESO, pero es un detalle elegante que demuestra que has entendido el teorema.

Aplicaciones reales y problemas resueltos

El teorema de Pitágoras es de los pocos temas de matemáticas que usas constantemente fuera del cuaderno. Aquí van varios problemas con enunciado, del tipo que cae en los exámenes, resueltos paso a paso.

Problema 1: la escalera apoyada en la pared

Una escalera de 4 m está apoyada contra una pared. El pie de la escalera está a 1,5 m de la pared. ¿A qué altura llega la escalera?

El truco de estos problemas es dibujar un triángulo rectángulo: la pared y el suelo forman el ángulo recto, la escalera es la hipotenusa, y los catetos son la separación al muro y la altura.

• Hipotenusa (la escalera): c = 4 m.
• Cateto conocido (separación del muro): a = 1,5 m.
• Buscamos el otro cateto (la altura): b.
• Al cuadrado: 4² = 16 y 1,5² = 2,25.
• Restamos (es un cateto): 16 − 2,25 = 13,75.
• Raíz: b = √13,75 ≈ 3,71 m.

La escalera llega a una altura de unos 3,71 m. (Comprobación: 3,71 < 4, correcto, la altura es menor que la escalera.)

Problema 2: la diagonal de una pantalla

Una pantalla de televisor mide 80 cm de ancho y 45 cm de alto. ¿Cuánto mide su diagonal?

Una pantalla es un rectángulo. Su diagonal lo parte en dos triángulos rectángulos, donde el ancho y el alto son los catetos y la diagonal es la hipotenusa.

• Catetos: a = 80 cm, b = 45 cm.
• Buscamos la diagonal (hipotenusa): c.
• Al cuadrado: 80² = 6400 y 45² = 2025.
• Sumamos (es la hipotenusa): 6400 + 2025 = 8425.
• Raíz: c = √8425 ≈ 91,79 cm.

La diagonal mide unos 91,79 cm. (Curiosidad: las pulgadas de los televisores miden justo esta diagonal. 91,79 cm ÷ 2,54 ≈ 36 pulgadas.)

Problema 3: la diagonal de un cuadrado

¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 6 cm de lado?

En un cuadrado, los dos lados que forman la diagonal son iguales (los dos miden 6 cm) y son los catetos; la diagonal es la hipotenusa.

• Catetos: a = 6 cm, b = 6 cm.
• Al cuadrado: 6² = 36 y 6² = 36.
• Sumamos: 36 + 36 = 72.
• Raíz: c = √72 ≈ 8,49 cm.

La diagonal mide √72 cm ≈ 8,49 cm. (Se puede dejar como 6√2 cm, porque √72 = √(36·2) = 6√2. Es el dato curioso de que la diagonal de cualquier cuadrado es el lado por √2.)

Problema 4: distancia entre dos puntos

Para ir de tu casa al colegio caminas 300 m hacia el este y luego 400 m hacia el norte. Si pudieras ir en línea recta, ¿qué distancia recorrerías?

Caminar al este y luego al norte dibuja un triángulo rectángulo (el este y el norte forman un ángulo recto). La línea recta "en diagonal" es la hipotenusa.

• Catetos: a = 300 m, b = 400 m.
• Al cuadrado: 300² = 90000 y 400² = 160000.
• Sumamos: 90000 + 160000 = 250000.
• Raíz: c = √250000 = 500 m.

En línea recta serían 500 m (otra vez el 3-4-5, esta vez por 100). Caminando das 700 m; en línea recta, solo 500.

Problema 5: la altura de un triángulo isósceles

Un triángulo isósceles tiene una base de 10 cm y los lados iguales miden 13 cm cada uno. ¿Cuánto mide su altura?

La altura desde el vértice superior cae justo en el punto medio de la base, partiendo el triángulo en dos triángulos rectángulos iguales. En cada uno: la hipotenusa es el lado igual (13 cm), un cateto es la mitad de la base (10 ÷ 2 = 5 cm) y el otro cateto es la altura que buscamos.

• Hipotenusa: c = 13 cm. Cateto conocido: a = 5 cm.
• Buscamos la altura (el otro cateto): b.
• Al cuadrado: 13² = 169 y 5² = 25.
• Restamos: 169 − 25 = 144.
• Raíz: b = √144 = 12 cm.

La altura del triángulo mide 12 cm. (Reconoces el 5-12-13.)

Errores típicos (y cómo evitarlos)

El teorema de Pitágoras es fácil, pero hay un puñado de errores que se repiten año tras año y que cuestan puntos tontamente. Si los conoces, los esquivas.

1. Confundir la hipotenusa con un cateto

Es el error número uno. Si pones un cateto donde va la hipotenusa, la fórmula entera sale mal. Antídoto: antes de calcular nada, identifica el ángulo recto y recuerda que la hipotenusa es el lado más largo y el que está enfrente del ángulo recto.

2. Sumar cuando hay que restar (o al revés)

Para la hipotenusa se suma (c = √(a² + b²)); para un cateto se resta (b = √(c² − a²)). Si calculas un cateto sumando, te saldrá un número mayor que la hipotenusa, lo cual es imposible. Antídoto: pregúntate siempre "¿busco el lado más largo o uno corto?". Largo → sumo. Corto → resto.

3. Olvidar la raíz cuadrada al final

Mucha gente calcula bien c² (por ejemplo, 25) y se olvida de hacer la raíz, dando como respuesta 25 en vez de 5. La fórmula te da el lado AL CUADRADO; el lado de verdad es la raíz. Antídoto: el último paso, siempre, es la raíz (salvo que te pidan el cuadrado expresamente).

4. Elevar al cuadrado mal

Recuerda que 3² = 9, no 6. Elevar al cuadrado es multiplicar el número por sí mismo (3·3 = 9), no por 2. Confundir 3² con 3·2 = 6 es un clásico de los nervios. Antídoto: lee "al cuadrado" como "por sí mismo".

5. Restar al revés y obtener un negativo

Al calcular un cateto, siempre es hipotenusa² − cateto² (grande menos pequeño). Si lo haces al revés sale negativo y la raíz da error. Antídoto: si la calculadora da error en una raíz, casi seguro has restado al revés.

6. Aplicar Pitágoras a un triángulo que NO es rectángulo

El teorema solo vale para triángulos rectángulos. Si el triángulo no tiene un ángulo de 90°, no puedes usar a² + b² = c². Antídoto: comprueba siempre que hay un ángulo recto (el cuadradito) antes de aplicar el teorema.

7. Mezclar unidades o perder los decimales por el camino

Si los datos están en metros, la respuesta va en metros. Y redondea al final, no a mitad de cálculo, para no acumular error. Antídoto: arrastra las unidades en cada paso y redondea solo en el último.

Cómo estudiar el teorema de Pitágoras para el examen

El teorema de Pitágoras es de los temas más rentables de la ESO si lo preparas bien, porque con una sola fórmula y un método claro puedes resolver muchísimos problemas. Esta es una forma sensata de estudiarlo:

1. Memoriza la fórmula entendiéndola, no de carrerilla. Aprende a² + b² = c² sabiendo que a y b son catetos y c es la hipotenusa. Léela como "cateto² + cateto² = hipotenusa²".
2. Domina la identificación de los lados. Practica con varios dibujos a buscar el ángulo recto, los catetos y la hipotenusa. Si esto lo haces rápido, el resto es coser y cantar.
3. Practica los dos casos por separado. Primero ejercicios de calcular la hipotenusa (sumar) hasta que te salgan solos; luego ejercicios de calcular un cateto (restar). No los mezcles hasta que cada uno esté automatizado.
4. Apréndete las ternas básicas. 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10, 8-15-17. Te ahorran tiempo y te sirven para detectar errores.
5. Haz problemas con enunciado, no solo triángulos sueltos. Los exámenes preguntan escaleras, diagonales, distancias... Practica a dibujar el triángulo rectángulo a partir del enunciado: ese suele ser el paso difícil, no la cuenta.
6. Comprueba siempre. Mira si la hipotenusa sale mayor que los catetos y si el resultado tiene sentido. Si puedes, comprueba con la fórmula.
7. Repasa los errores típicos de la sección anterior justo antes del examen. Saber dónde fallan los demás es la forma más rápida de no fallar tú.

Una idea importante: en matemáticas no basta con leer la teoría, hay que resolver ejercicios tú mismo. Y, sobre todo, hacerlo entendiendo cada paso, no copiando. Cuando te atascas, lo ideal no es que alguien te dé la solución hecha (así no aprendes), sino que te dé una pista para que avances tú. Esa es justo la filosofía de Profe 24/7: un tutor con IA que te guía con pistas, nunca te da la solución hecha, está alineado con el temario LOMLOE y está disponible 24/7, para que practiques a tu ritmo y llegues al examen con el teorema realmente aprendido. Si quieres reforzar la geometría de Matemáticas de 2º de la ESO o de Matemáticas de 3º de la ESO, te puede venir muy bien.

Ejercicios resueltos variados

Aquí tienes una batería de ejercicios de todo tipo, resueltos y comprobados, para que veas el método aplicado a muchas situaciones distintas. Intenta hacerlos tú primero tapando la solución.

Ejercicio 1: hipotenusa con catetos 9 y 12

Catetos 9 cm y 12 cm. Halla la hipotenusa.

• 9² = 81, 12² = 144.
• Suma: 81 + 144 = 225.
• Raíz: c = √225 = 15 cm.

Hipotenusa = 15 cm. (Terna 9-12-15.)

Ejercicio 2: cateto con hipotenusa 17 y cateto 8

Hipotenusa 17 m, un cateto 8 m. Halla el otro cateto.

• 17² = 289, 8² = 64.
• Resta: 289 − 64 = 225.
• Raíz: b = √225 = 15 m.

Cateto = 15 m. (Terna 8-15-17.)

Ejercicio 3: hipotenusa con catetos 7 y 24

Catetos 7 y 24. Halla la hipotenusa.

• 7² = 49, 24² = 576.
• Suma: 49 + 576 = 625.
• Raíz: c = √625 = 25.

Hipotenusa = 25. (Terna 7-24-25.)

Ejercicio 4: resultado no exacto

Catetos 4 cm y 7 cm. Halla la hipotenusa.

• 4² = 16, 7² = 49.
• Suma: 16 + 49 = 65.
• Raíz: c = √65 ≈ 8,06 cm.

Hipotenusa = √65 cm ≈ 8,06 cm. (√65 no es exacta; se deja en raíz o se aproxima.)

Ejercicio 5: cateto con resultado no exacto

Hipotenusa 9 cm, un cateto 5 cm. Halla el otro cateto.

• 9² = 81, 5² = 25.
• Resta: 81 − 25 = 56.
• Raíz: b = √56 ≈ 7,48 cm.

Cateto = √56 cm ≈ 7,48 cm. (Se puede simplificar: √56 = √(4·14) = 2√14.)

Ejercicio 6: ¿es rectángulo?

¿Es rectángulo un triángulo de lados 8, 15 y 17?

• Lado mayor: 17. 17² = 289.
• Otros: 8² + 15² = 64 + 225 = 289.
• 289 = 289 ✓ → SÍ es rectángulo.

Ejercicio 7: diagonal de un rectángulo

Un rectángulo mide 12 cm de largo y 9 cm de ancho. Halla su diagonal.

• Catetos: 12 y 9. 12² = 144, 9² = 81.
• Suma: 144 + 81 = 225.
• Raíz: c = √225 = 15 cm.

Diagonal = 15 cm. (Terna 9-12-15.)

Ejercicio 8: el poste y el cable

Un poste vertical de 12 m se sujeta con un cable atado a su parte alta y clavado en el suelo a 5 m de la base. ¿Qué longitud tiene el cable?

• El poste y el suelo forman el ángulo recto. Catetos: 12 m (poste) y 5 m (distancia en el suelo). El cable es la hipotenusa.
• 12² = 144, 5² = 25.
• Suma: 144 + 25 = 169.
• Raíz: c = √169 = 13 m.

El cable mide 13 m. (Terna 5-12-13.)

Ejercicio 9: cateto en un problema real

Una rampa tiene 10 m de longitud (la hipotenusa) y salva un desnivel (sube) de 6 m. ¿Cuánto avanza en horizontal?

• Hipotenusa: 10 m. Cateto conocido (altura): 6 m. Buscamos el avance horizontal (el otro cateto).
• 10² = 100, 6² = 36.
• Resta: 100 − 36 = 64.
• Raíz: b = √64 = 8 m.

Avanza 8 m en horizontal. (Terna 6-8-10.)

Ejercicio 10: dos pasos (problema combinado)

Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 9 cm y una hipotenusa de 15 cm. Primero halla el otro cateto y luego calcula el área del triángulo.

• Paso 1 (cateto): 15² = 225, 9² = 81. Resta: 225 − 81 = 144. Raíz: √144 = 12 cm. El otro cateto mide 12 cm.
• Paso 2 (área): el área de un triángulo rectángulo es (cateto · cateto) ÷ 2, porque los dos catetos hacen de base y altura. Área = (9 · 12) ÷ 2 = 108 ÷ 2 = 54 cm².

El otro cateto mide 12 cm y el área es 54 cm². (Terna 9-12-15.)

Si quieres seguir reforzando el cálculo y la geometría, te vendrá bien repasar también cómo aprobar matemáticas y, cuando llegues a ese tema, ecuaciones de segundo grado paso a paso, que comparte mucho con esto: una fórmula clara, pasos fijos y mucha práctica.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula del teorema de Pitágoras?

La fórmula del teorema de Pitágoras es a² + b² = c², donde a y b son los catetos (los dos lados que forman el ángulo recto) y c es la hipotenusa (el lado más largo, enfrente del ángulo recto). En palabras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Solo se cumple en triángulos rectángulos.

¿Cómo se calcula la hipotenusa?

Para calcular la hipotenusa, conociendo los dos catetos, eleva cada cateto al cuadrado, suma los dos resultados y haz la raíz cuadrada: c = √(a² + b²). Por ejemplo, con catetos 3 y 4: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, y √25 = 5. La hipotenusa siempre te sale mayor que cualquiera de los catetos; si no, has hecho algo mal.

¿Cómo se calcula un cateto?

Para calcular un cateto, cuando conoces la hipotenusa y el otro cateto, despeja la fórmula: eleva al cuadrado la hipotenusa y el cateto conocido, réstalos (hipotenusa² menos cateto²) y haz la raíz: b = √(c² − a²). Por ejemplo, con hipotenusa 10 y cateto 6: 10² − 6² = 100 − 36 = 64, y √64 = 8. Ojo: siempre es la hipotenusa al cuadrado menos el cateto, nunca al revés.

¿El teorema de Pitágoras solo vale para triángulos rectángulos?

Sí. El teorema de Pitágoras solo se cumple en triángulos rectángulos, es decir, en triángulos que tienen un ángulo de 90°. En triángulos que no son rectángulos, a² + b² = c² no funciona. Para esos casos existen otras herramientas (el teorema del coseno, por ejemplo), pero eso ya es de Bachillerato. En la ESO, antes de aplicar Pitágoras, comprueba siempre que el triángulo tiene un ángulo recto.

¿Qué es una terna pitagórica?

Una terna pitagórica es un grupo de tres números enteros que cumplen el teorema de Pitágoras, es decir, que pueden ser los tres lados de un triángulo rectángulo con todos los lados enteros. La más famosa es (3, 4, 5), porque 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25). Otras muy útiles son (5, 12, 13), (6, 8, 10), (8, 15, 17) y (7, 24, 25). Conocerlas te ahorra cuentas y te ayuda a detectar errores.

¿Cómo sé cuál es la hipotenusa?

La hipotenusa es el lado que está enfrente del ángulo recto (el ángulo de 90°, el que se marca con un cuadradito) y es siempre el lado más largo del triángulo. Los otros dos lados, los que forman el ángulo recto, son los catetos. Un truco: la hipotenusa nunca "toca" el ángulo recto; los catetos sí. Si te dan tres medidas, la mayor es la hipotenusa.

¿Qué hago si la raíz no da un número exacto?

Si la raíz cuadrada no da un número entero (por ejemplo √13 o √21), tienes dos opciones, las dos correctas: dejar la respuesta en forma de raíz (por ejemplo √13 cm, que es el valor exacto) o dar un valor aproximado con la calculadora, redondeando a los decimales que te pidan (normalmente dos): √13 ≈ 3,61 cm. El examen suele indicar cuál quiere. Recuerda usar la coma decimal en España.

¿Para qué sirve el teorema de Pitágoras en la vida real?

Sirve para calcular distancias y longitudes que no se pueden medir directamente, siempre que aparezca un ángulo recto. Por ejemplo: la altura a la que llega una escalera apoyada en la pared, la diagonal de una pantalla o de una habitación, la distancia en línea recta entre dos puntos, la longitud de una rampa o de un cable tensado. También es la base de la trigonometría, que usan la física, la arquitectura, la ingeniería y los videojuegos.

¿Por qué se suma para la hipotenusa y se resta para el cateto?

Porque la hipotenusa es el lado más largo: para hallarla, juntas (sumas) los cuadrados de los dos catetos. En cambio, un cateto es más pequeño que la hipotenusa, así que para hallarlo le "quitas" (restas) al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del otro cateto. Una pista práctica: si buscas el lado largo, sumas; si buscas un lado corto, restas. Si te equivocas y restas al revés, te sale un número negativo dentro de la raíz, que es imposible.

¿Quién fue Pitágoras?

Pitágoras fue un matemático y filósofo de la Antigua Grecia que vivió en el siglo VI antes de Cristo. El teorema lleva su nombre porque su escuela lo demostró y lo difundió, aunque la relación entre los lados de un triángulo rectángulo ya la conocían y usaban civilizaciones anteriores, como los babilonios y los egipcios, para construir y medir terrenos. Lo importante para ti no es la historia, sino que el teorema funciona siempre, en todos los triángulos rectángulos.

Conclusión

El teorema de Pitágoras es uno de esos temas que, una vez lo entiendes de verdad, se queda contigo para siempre y te resuelve problemas durante toda la ESO, el Bachillerato y más allá. Recapitulemos lo esencial: en un triángulo rectángulo, a² + b² = c², donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa. Para calcular la hipotenusa sumas los cuadrados de los catetos y haces la raíz; para calcular un cateto restas y haces la raíz. Identifica siempre bien la hipotenusa (el lado más largo, enfrente del ángulo recto), no te olvides de la raíz al final y comprueba que el resultado tiene sentido.

Lo demás es práctica. Cuantos más ejercicios hagas (de hipotenusa, de cateto, problemas con enunciado, comprobaciones con el recíproco), más automático se volverá y menos te costará en el examen. Y recuerda que la mejor forma de aprender no es copiar soluciones, sino entender cada paso y resolverlo tú.

Si quieres practicar con un tutor que te acompañe cuando te atascas, prueba Profe 24/7 gratis: un tutor con IA que te guía con pistas, nunca te da la solución hecha, sigue el temario LOMLOE y está disponible 24/7. Puedes pedirle más ejercicios de Pitágoras, que te corrija los tuyos paso a paso o que te eche una mano con cualquier tema de Matemáticas de 2º de la ESO o Matemáticas de 3º de la ESO. Tú pones la práctica; nosotros, las pistas. Ánimo, que el teorema de Pitágoras es más fácil de lo que parece.