Trigonometría: seno, coseno y tangente explicados desde cero

TL;DR

• El seno, el coseno y la tangente no son fórmulas mágicas: son cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo. Seno = cateto opuesto / hipotenusa, coseno = cateto contiguo / hipotenusa, tangente = cateto opuesto / cateto contiguo. La regla SOH-CAH-TOA te lo recuerda en tres segundos.
• Funcionan porque todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo son semejantes: los lados cambian de tamaño, pero sus proporciones no. Por eso el seno de 30° vale 0,5 en un triángulo diminuto y en uno del tamaño de un campo de fútbol.
• La circunferencia goniométrica (radio 1) extiende esas razones a cualquier ángulo: el coseno es la coordenada x y el seno la coordenada y. De ahí salen los signos por cuadrante sin memorizar nada.
• La tabla de ángulos notables (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) se deduce en un minuto con medio triángulo equilátero y medio cuadrado. No hace falta aprendérsela de memoria, y hay un truco: los senos son √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2.
• La identidad sen²α + cos²α = 1 no es más que el teorema de Pitágoras escrito con razones trigonométricas, y de ella salen casi todas las demás.
• Para triángulos que no son rectángulos existen dos herramientas: el teorema del seno (a/sen A = b/sen B = c/sen C) y el teorema del coseno (a² = b² + c² − 2bc·cos A). Con ellas resuelves cualquier triángulo.
• El error número uno en los exámenes no es conceptual: es tener la calculadora en radianes cuando el enunciado va en grados. Compruébalo siempre antes de empezar.

La trigonometría tiene fama de ser el tema en el que las matemáticas dejan de tener sentido. Aparecen tres palabras nuevas (seno, coseno, tangente), una tabla llena de raíces cuadradas, una circunferencia con cuadrantes y signos, y de repente hay que medir la altura de un edificio sin subirse a él. Es normal que el primer día parezca un idioma extranjero.

Pero la trigonometría es exactamente lo contrario de lo que parece: es el tema más visual y más aplicado de todo el instituto. Cada fórmula corresponde a un dibujo, y cada dibujo se puede comprobar con una regla. No hay nada que memorizar a ciegas: todo se deduce de dos triángulos que puedes dibujar en el margen del examen.

En este artículo vamos a recorrer el tema completo desde cero. Verás de dónde salen realmente el seno, el coseno y la tangente, cómo la circunferencia goniométrica los extiende a cualquier ángulo, cómo convertir grados en radianes sin liarte, cómo deducir la tabla de ángulos notables en lugar de memorizarla, las relaciones fundamentales y para qué sirven, la resolución de triángulos rectángulos con problemas reales, el teorema del seno y el del coseno, las ecuaciones trigonométricas más habituales, las gráficas de seno y coseno, dieciséis ejercicios resueltos de dificultad creciente, los errores típicos que te cuestan puntos y un plan de seis días para llegar al examen con el tema controlado.

Si estás en cuarto de la ESO, este es el tema que separa a quien va a sobrevivir en Bachillerato de quien va a sufrir: en Matemáticas de 4º de ESO la trigonometría entra en modo "triángulos rectángulos" y en Bachillerato se convierte en funciones, identidades y ecuaciones. Y si vas camino de la Selectividad, conviene saber que la trigonometría reaparece disfrazada en geometría analítica, en números complejos y en integrales.

De dónde salen el seno, el coseno y la tangente

El problema que resuelven

Imagina que quieres saber la altura de la torre de tu pueblo. No puedes subirte con un metro, ni tumbarla para medirla. Lo que sí puedes hacer es alejarte 40 metros, medir esa distancia, y medir con un transportador el ángulo con el que ves la punta de la torre desde el suelo.

Con eso tienes un triángulo rectángulo del que conoces un lado (40 metros) y un ángulo. La pregunta es: ¿basta con eso para conocer los demás lados? La respuesta es sí, y la trigonometría es justamente la máquina que hace esa conversión.

La clave: la semejanza de triángulos

Dibuja un triángulo rectángulo cuyo ángulo agudo mida 30°. Ahora dibuja otro más grande, también rectángulo, también con un ángulo de 30°. Los dos triángulos tienen los mismos tres ángulos (30°, 60° y 90°), así que son semejantes: uno es una ampliación del otro.

¿Qué significa eso? Que aunque los lados midan cosas distintas, las proporciones entre ellos son idénticas. Si en el pequeño el cateto opuesto al ángulo de 30° mide 1 y la hipotenusa mide 2, la razón es 1/2. Si en el grande el cateto opuesto mide 5 y la hipotenusa mide 10, la razón vuelve a ser 1/2.

Esa constancia es toda la trigonometría. La proporción entre dos lados de un triángulo rectángulo depende solo del ángulo, no del tamaño. Y como depende solo del ángulo, tiene sentido darle un nombre y meterla en una tabla (o en una calculadora).

Las tres razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo, respecto de uno de sus ángulos agudos (llamémosle α), los lados reciben tres nombres:

• Hipotenusa: el lado más largo, el que está enfrente del ángulo recto. Nunca cambia de nombre.
• Cateto opuesto: el lado que está enfrente de α.
• Cateto contiguo (o adyacente): el lado que toca a α sin ser la hipotenusa.

Ojo con esto: opuesto y contiguo cambian según el ángulo que mires. En el mismo triángulo, el cateto opuesto a un ángulo agudo es el contiguo del otro. Es la fuente número uno de errores de principiante.

Las tres razones son:

• seno de α = cateto opuesto / hipotenusa
• coseno de α = cateto contiguo / hipotenusa
• tangente de α = cateto opuesto / cateto contiguo

Se escriben sen α, cos α y tg α (o tan α, la notación que usan las calculadoras y los libros anglosajones).

La regla mnemotécnica: SOH-CAH-TOA

Esto se memoriza en diez segundos con tres sílabas:

• SOH: Seno = Opuesto / Hipotenusa
• CAH: Coseno = Adyacente / Hipotenusa
• TOA: Tangente = Opuesto / Adyacente

Escríbelo en la esquina de la hoja el día del examen, antes de leer el primer enunciado. Cuesta cinco segundos y evita el clásico "¿el coseno era el de arriba o el de abajo?".

Hay una relación adicional que conviene ver desde el principio:

tg α = sen α / cos α

Y se comprueba en dos líneas: sen α / cos α = (opuesto/hipotenusa) / (contiguo/hipotenusa) = opuesto/contiguo = tg α. La hipotenusa se cancela. Esta identidad la vas a usar constantemente.

Un primer ejemplo con números

Toma el triángulo rectángulo más famoso del mundo: catetos 3 y 4, hipotenusa 5. (Que la hipotenusa vale 5 lo sabes por el teorema de Pitágoras: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².)

Llamemos α al ángulo opuesto al cateto de 3:

• sen α = 3/5 = 0,6
• cos α = 4/5 = 0,8
• tg α = 3/4 = 0,75

Y llamemos β al otro ángulo agudo, opuesto al cateto de 4:

• sen β = 4/5 = 0,8
• cos β = 3/5 = 0,6
• tg β = 4/3 ≈ 1,333

Fíjate en algo bonito: el seno de uno es el coseno del otro. Y no es casualidad, porque α + β = 90° (los tres ángulos suman 180° y uno de ellos ya se lleva 90°). Los ángulos que suman 90° se llaman complementarios, y siempre cumplen sen α = cos(90° − α).

Si quieres los ángulos en grados, necesitas las funciones inversas de la calculadora (arcsen, arccos, arctg, normalmente en las teclas sen⁻¹, cos⁻¹, tg⁻¹):

• α = arcsen(0,6) ≈ 36,87°
• β = arcsen(0,8) ≈ 53,13°

Comprobación rápida: 36,87 + 53,13 = 90. Encaja.

La circunferencia goniométrica y los signos por cuadrante

El límite del triángulo rectángulo

La definición con triángulos tiene un problema evidente: solo funciona para ángulos entre 0° y 90°. Un triángulo rectángulo no puede tener un ángulo de 150°, ni de 270°, ni negativo. Pero en física, en ingeniería y en Bachillerato esos ángulos aparecen constantemente.

La solución es cambiar de escenario: en lugar de un triángulo, usamos una circunferencia de radio 1 centrada en el origen de unos ejes de coordenadas. Se llama circunferencia goniométrica o circunferencia unidad.

Cómo se definen las razones en la circunferencia

Coloca un punto P sobre la circunferencia y traza el radio que va del origen a P. El ángulo α es el que forma ese radio con el semieje positivo de las x, medido en sentido antihorario (contrario a las agujas del reloj).

Entonces, por definición:

• cos α = abscisa de P (la coordenada x)
• sen α = ordenada de P (la coordenada y)

Es decir, P = (cos α, sen α).

¿Por qué esta definición es coherente con la anterior? Porque si bajas una perpendicular desde P al eje x, obtienes un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio, que mide 1. Como sen α = opuesto/hipotenusa = opuesto/1 = opuesto, el seno es directamente la altura del punto. Y el coseno, directamente su distancia horizontal. La definición vieja está dentro de la nueva.

De aquí sale, gratis, la identidad más importante del tema. Como P está en la circunferencia de radio 1, sus coordenadas cumplen x² + y² = 1, o sea:

sen²α + cos²α = 1

Esto no es una fórmula que haya que creerse: es Pitágoras aplicado a un triángulo de hipotenusa 1.

Dos consecuencias inmediatas: el seno y el coseno siempre están entre −1 y 1. Si en un ejercicio te sale sen α = 1,4, has hecho algo mal, seguro.

La tangente, en cambio, no tiene ese límite: tg α = sen α / cos α puede valer cualquier número real, y no existe cuando cos α = 0 (es decir, en 90° y 270°), porque no se puede dividir entre cero.

Los cuatro cuadrantes

Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, numerados en sentido antihorario:

• Primer cuadrante: 0° a 90°. x positiva, y positiva.
• Segundo cuadrante: 90° a 180°. x negativa, y positiva.
• Tercer cuadrante: 180° a 270°. x negativa, y negativa.
• Cuarto cuadrante: 270° a 360°. x positiva, y negativa.

Como coseno = x y seno = y, los signos son consecuencia directa:

La tangente sale de dividir los otros dos: en el primer cuadrante +/+ = +, en el segundo +/− = −, en el tercero −/− = +, en el cuarto −/+ = −.

No memorices la tabla. Memoriza que el coseno es la x y el seno es la y, y dibuja los ejes. Con eso la reconstruyes en cinco segundos.

Reducción al primer cuadrante

Una vez que sabes los ángulos notables del primer cuadrante, puedes calcular cualquier otro sin calculadora usando estas relaciones:

• Ángulos suplementarios (180° − α): sen(180° − α) = sen α; cos(180° − α) = −cos α; tg(180° − α) = −tg α.
• Ángulos que difieren en 180° (180° + α): sen(180° + α) = −sen α; cos(180° + α) = −cos α; tg(180° + α) = tg α.
• Ángulos opuestos (−α, o 360° − α): sen(−α) = −sen α; cos(−α) = cos α; tg(−α) = −tg α.
• Ángulos complementarios (90° − α): sen(90° − α) = cos α; cos(90° − α) = sen α.

Ejemplos rápidos:

• sen 150° = sen(180° − 30°) = sen 30° = 1/2
• cos 240° = cos(180° + 60°) = −cos 60° = −1/2
• tg 315° = tg(360° − 45°) = −tg 45° = −1

Comprueba siempre el signo con el cuadrante antes de escribir el resultado. 150° está en el segundo cuadrante, donde el seno es positivo: correcto. 240° está en el tercero, donde el coseno es negativo: correcto. 315° está en el cuarto, donde la tangente es negativa: correcto.

Grados y radianes: la conversión que hay que dominar

Qué es un radián

Un grado es una unidad arbitraria: alguien decidió hace milenios partir la circunferencia en 360 trozos (probablemente por el calendario babilónico y porque 360 tiene muchísimos divisores). Funciona, pero no tiene ninguna relación natural con la geometría del círculo.

Un radián sí la tiene: es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Si coges una cuerda de la longitud del radio y la curvas sobre la circunferencia, el ángulo que abarca es exactamente 1 radián.

Como la circunferencia completa mide 2πr, en una vuelta entera caben 2π radios. Por tanto:

360° = 2π rad, y simplificando, 180° = π rad.

De ahí sale 1 rad = 180/π ≈ 57,2958°.

Las fórmulas de conversión

Solo hay que recordar la equivalencia 180° = π rad y montar una regla de tres:

• De grados a radianes: multiplicar por π/180.
• De radianes a grados: multiplicar por 180/π.

Ejemplos:

• 135° → 135 · π/180 = 135π/180 = 3π/4 rad (simplificando dividiendo entre 45).
• 210° → 210π/180 = 7π/6 rad (dividiendo entre 30).
• 7π/6 rad → (7π/6) · (180/π) = 7 · 180/6 = 210°. Encaja con el anterior.
• 5π/4 rad → 5 · 180/4 = 225°.

Las equivalencias que más se repiten conviene tenerlas a mano:

Por qué existen los radianes

En cuarto de la ESO parecen una complicación gratuita. En Bachillerato dejan de serlo por dos motivos.

El primero es práctico: con el ángulo en radianes, la longitud de un arco es simplemente s = r · θ, y el área de un sector circular es A = (1/2) · r² · θ. Con grados harían falta factores de conversión feísimos.

Ejemplo: un sector de radio 5 cm y ángulo 60°. Pasamos a radianes: 60° = π/3 rad ≈ 1,0472. Entonces s = 5 · 1,0472 ≈ 5,24 cm, y A = 0,5 · 25 · 1,0472 ≈ 13,09 cm².

El segundo motivo es que todo el cálculo de Bachillerato asume radianes. La derivada de sen x es cos x solo si x está en radianes; en grados aparecerían constantes molestas. Si vas a estudiar derivadas, los radianes dejan de ser opcionales.

La tabla de ángulos notables (y cómo deducirla sin memorizarla)

Esta es la tabla que todo el mundo intenta aprenderse de memoria y todo el mundo olvida a mitad de examen:

La buena noticia es que no hace falta memorizarla. Se deduce con dos dibujos.

Deducción de 30° y 60°: medio triángulo equilátero

Dibuja un triángulo equilátero de lado 2. Todos sus ángulos miden 60°. Ahora traza la altura desde un vértice: parte el triángulo en dos triángulos rectángulos iguales.

Cada uno de ellos tiene:

• Hipotenusa = 2 (el lado del equilátero).
• Un cateto = 1 (la mitad de la base, porque la altura corta la base por el punto medio).
• El otro cateto = la altura, que por Pitágoras vale √(2² − 1²) = √(4 − 1) = √3.
• Ángulos: 90°, 60° (el del vértice inferior, que se conserva) y 30° (el de arriba, mitad de 60°).

Ahora aplica SOH-CAH-TOA respecto al ángulo de 30° (cuyo opuesto es el cateto 1):

• sen 30° = 1/2
• cos 30° = √3/2
• tg 30° = 1/√3 = √3/3 (racionalizando)

Y respecto al de 60° (cuyo opuesto es √3):

• sen 60° = √3/2
• cos 60° = 1/2
• tg 60° = √3/1 = √3

Si racionalizar denominadores te suena a chino, repasa potencias y raíces: 1/√3 se multiplica arriba y abajo por √3 y queda √3/3.

Deducción de 45°: medio cuadrado

Dibuja un cuadrado de lado 1 y traza su diagonal. Obtienes dos triángulos rectángulos con catetos 1 y 1, e hipotenusa √(1² + 1²) = √2. Los ángulos agudos miden 45° cada uno (la diagonal parte el ángulo recto en dos mitades iguales).

• sen 45° = 1/√2 = √2/2
• cos 45° = 1/√2 = √2/2
• tg 45° = 1/1 = 1

Que el seno y el coseno de 45° coincidan tiene sentido: 45° es complementario de sí mismo.

Deducción de 0° y 90°: la circunferencia

En la circunferencia goniométrica, el ángulo de 0° corresponde al punto (1, 0) y el de 90° al punto (0, 1). Como cos = x y sen = y:

• sen 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0/1 = 0
• sen 90° = 1, cos 90° = 0, tg 90° = 1/0 → no existe

El truco de las raíces

Si aun así prefieres una regla nemotécnica, aquí va una muy buena. Los senos de 0°, 30°, 45°, 60° y 90° son, en ese orden:

√0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2

Es decir: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Y los cosenos son exactamente los mismos valores en orden inverso. La tangente sale dividiendo el seno entre el coseno.

Con esta regla reconstruyes la tabla entera en quince segundos, sin memorizar ni un solo valor suelto.

Las relaciones fundamentales

La identidad principal

sen²α + cos²α = 1

Ya la hemos deducido: es Pitágoras en la circunferencia unidad. Ojo con la notación: sen²α significa (sen α)², no sen(α²). Escribirlo mal es una fuente clásica de líos.

Su utilidad práctica es que con una razón puedes obtener las otras dos, siempre que sepas en qué cuadrante estás.

Ejemplo: si sen α = 3/5 y α está en el segundo cuadrante, entonces cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, así que cos α = ±4/5. Como en el segundo cuadrante el coseno es negativo, cos α = −4/5. Y tg α = (3/5)/(−4/5) = −3/4.

Sin el dato del cuadrante habría dos soluciones. Por eso los enunciados siempre lo especifican (o dan una pista equivalente, como "α es agudo" o "tg α < 0").

Las identidades derivadas

Divide sen²α + cos²α = 1 entre cos²α:

sen²α/cos²α + cos²α/cos²α = 1/cos²α

Y como sen α/cos α = tg α, queda:

1 + tg²α = 1/cos²α

Esta relación permite pasar de la tangente al coseno directamente. Si tg α = 2 y α es agudo: 1 + 4 = 1/cos²α → cos²α = 1/5 → cos α = 1/√5 = √5/5 ≈ 0,447. Y sen α = tg α · cos α = 2 · 0,447 = 0,894. Comprobación: 0,894² + 0,447² = 0,799 + 0,200 ≈ 1. Correcto.

Si ahora divides la identidad principal entre sen²α, obtienes la versión con cotangente:

1 + cotg²α = 1/sen²α, donde cotg α = cos α / sen α = 1/tg α.

Las razones "menores"

En algunos libros aparecen tres razones más, que son simplemente los inversos:

• secante: sec α = 1/cos α
• cosecante: cosec α = 1/sen α
• cotangente: cotg α = 1/tg α = cos α/sen α

Con ellas, las identidades quedan más elegantes: 1 + tg²α = sec²α y 1 + cotg²α = cosec²α. En la ESO casi nunca se usan; en Bachillerato aparecen sobre todo en integrales.

Simplificar expresiones: el ejercicio típico

Los exámenes suelen pedir simplificar o demostrar identidades. La estrategia es casi siempre la misma: convertirlo todo a senos y cosenos, y buscar dónde aplicar sen²+cos² = 1.

Ejemplo 1: (1 − cos²α) / sen α. Como 1 − cos²α = sen²α, queda sen²α/sen α = sen α.

Ejemplo 2: (sen α · cos α) / tg α = sen α · cos α · (cos α/sen α) = cos²α.

Ejemplo 3: sen⁴α − cos⁴α. Es una diferencia de cuadrados: (sen²α − cos²α)(sen²α + cos²α) = (sen²α − cos²α) · 1 = sen²α − cos²α, que también se puede escribir como 1 − 2cos²α o como 2sen²α − 1.

Fórmulas de ángulo doble

Para completar el mapa, en Bachillerato aparecen estas dos, que se usan mucho en ecuaciones:

• sen 2α = 2 · sen α · cos α
• cos 2α = cos²α − sen²α = 1 − 2sen²α = 2cos²α − 1

Y las de suma de ángulos, que conviene reconocer aunque no siempre se exijan de memoria:

• sen(a + b) = sen a · cos b + cos a · sen b
• cos(a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b

Aviso importante: sen(a + b) NO es sen a + sen b. Compruébalo: sen(30° + 60°) = sen 90° = 1, mientras que sen 30° + sen 60° = 0,5 + 0,866 = 1,366. No coinciden. Este error aparece en todos los exámenes correctores del país.

Resolución de triángulos rectángulos: los problemas reales

"Resolver un triángulo" significa hallar sus tres lados y sus tres ángulos. En un triángulo rectángulo ya conoces uno de los ángulos (90°), así que te basta con dos datos más (siempre que al menos uno sea un lado).

El procedimiento es siempre el mismo:

1. Dibuja el triángulo y marca lo que conoces. Sin dibujo, no empieces.
2. Identifica respecto a qué ángulo estás mirando: cuál es el opuesto y cuál el contiguo.
3. Elige la razón que relaciona el dato que tienes con la incógnita que buscas.
4. Despeja y calcula, con la calculadora en grados.
5. Comprueba que el resultado es razonable: la hipotenusa debe ser el lado más largo, los ángulos agudos deben sumar 90°.

Problema 1: la altura de un edificio

Te sitúas a 30 metros de la base de un edificio y mides un ángulo de elevación de 38° hasta el borde de la azotea. Tus ojos están a 1,65 m del suelo. ¿Cuánto mide el edificio?

El triángulo rectángulo tiene como cateto contiguo los 30 m de suelo y como cateto opuesto la altura desde la altura de tus ojos hasta la azotea. Llamémosla h.

tg 38° = h / 30 → h = 30 · tg 38° = 30 · 0,78129 = 23,44 m

Pero eso es la altura por encima de tus ojos. El edificio mide:

23,44 + 1,65 = 25,09 m, aproximadamente 25,1 metros.

Olvidarse de sumar la altura del observador es el fallo más repetido en este tipo de problemas. Si el enunciado te da ese dato, es porque hay que usarlo.

Problema 2: la rampa accesible

Un ayuntamiento quiere salvar un desnivel de 0,54 m con una rampa cuya proyección horizontal es de 7,2 m. ¿Qué ángulo forma con el suelo? ¿Cuánto mide la rampa? ¿Qué pendiente tiene en porcentaje?

El desnivel es el cateto opuesto y la proyección horizontal el contiguo:

tg α = 0,54 / 7,2 = 0,075 → α = arctg(0,075) ≈ 4,29°

La longitud de la rampa es la hipotenusa, por Pitágoras:

L = √(7,2² + 0,54²) = √(51,84 + 0,2916) = √52,1316 ≈ 7,22 m

Y la pendiente en porcentaje es precisamente la tangente multiplicada por 100:

pendiente = 0,075 · 100 = 7,5 %

Aquí hay un detalle conceptual valioso: la pendiente de una carretera expresada en porcentaje es la tangente del ángulo. Cuando ves una señal de "12 %", significa tg α = 0,12, es decir α ≈ 6,84°. Las normas de accesibilidad limitan las rampas a pendientes de entre el 6 % y el 10 % según la longitud del tramo, así que esta rampa está en un rango razonable.

Problema 3: la sombra

Un árbol de 6 m proyecta una sombra de 9 m. ¿Qué ángulo forman los rayos del sol con el suelo?

tg α = 6/9 = 0,6667 → α = arctg(0,6667) ≈ 33,69°

Y al revés: si el sol está a 52° sobre el horizonte y un poste proyecta una sombra de 8,4 m, ¿cuánto mide el poste?

h = 8,4 · tg 52° = 8,4 · 1,27994 ≈ 10,75 m

Fíjate en la lógica física: cuanto más alto está el sol (ángulo grande), más corta es la sombra, porque la tangente crece. Al amanecer el ángulo es casi 0 y las sombras son larguísimas. Al mediodía el ángulo es máximo y la sombra mínima.

Problema 4: la escalera

Una escalera de 4,5 m se apoya en una pared formando 72° con el suelo. ¿A qué altura llega? ¿A qué distancia está el pie de la escalera de la pared?

La escalera es la hipotenusa. La altura es el cateto opuesto al ángulo de 72°, y la distancia a la pared es el contiguo:

• altura = 4,5 · sen 72° = 4,5 · 0,95106 ≈ 4,28 m
• distancia = 4,5 · cos 72° = 4,5 · 0,30902 ≈ 1,39 m

Comprobación con Pitágoras: 4,28² + 1,39² = 18,32 + 1,93 = 20,25 = 4,5². Correcto.

Ángulo de elevación y ángulo de depresión

Dos términos que confunden a mucha gente:

• Ángulo de elevación: el que formas mirando hacia arriba, medido desde la horizontal.
• Ángulo de depresión: el que formas mirando hacia abajo, medido desde la horizontal.

Si desde lo alto de un faro ves un barco con un ángulo de depresión de 20°, desde el barco se ve la punta del faro con un ángulo de elevación de 20°. Son iguales porque son ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas (las dos horizontales). Dibujar bien esa horizontal en lo alto del faro es lo que salva el problema.

Teorema del seno y teorema del coseno

Todo lo anterior exige un ángulo recto. ¿Y si el triángulo no lo tiene? Entonces entran en juego dos teoremas que funcionan para cualquier triángulo.

Notación estándar: los ángulos se llaman A, B y C, y los lados a, b y c, donde cada lado minúscula es el opuesto a su ángulo mayúscula.

El teorema del seno

a / sen A = b / sen B = c / sen C = 2R

(donde R es el radio de la circunferencia circunscrita, un dato que casi nunca se pide en la ESO).

Se lee así: en todo triángulo, la razón entre un lado y el seno de su ángulo opuesto es constante.

Cuándo usarlo: cuando conoces un lado y su ángulo opuesto (esa pareja es imprescindible), más otro dato. Los casos típicos son:

• Dos ángulos y un lado (caso AAL o ALA).
• Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (caso LLA, el famoso "caso ambiguo").

Ejemplo: en un triángulo, A = 40°, B = 75° y a = 12 cm. Resuélvelo.

Primero, el tercer ángulo: C = 180° − 40° − 75° = 65°.

Ahora el teorema del seno:

b = a · sen B / sen A = 12 · sen 75° / sen 40° = 12 · 0,96593 / 0,64279 = 12 · 1,50272 ≈ 18,03 cm

c = a · sen C / sen A = 12 · sen 65° / sen 40° = 12 · 0,90631 / 0,64279 = 12 · 1,40999 ≈ 16,92 cm

Comprobación de coherencia: el ángulo mayor es B (75°), y efectivamente b es el lado más largo. El ángulo menor es A (40°) y a es el lado más corto. Todo encaja.

Y de regalo, el área: A = (1/2) · a · b · sen C = 0,5 · 12 · 18,03 · 0,90631 ≈ 98,1 cm².

El caso ambiguo

Aquí viene la trampa clásica. Si conoces dos lados y el ángulo opuesto al menor de ellos, puede haber dos triángulos distintos que cumplan los datos.

Ejemplo: a = 7, b = 9, A = 40°.

sen B = b · sen A / a = 9 · 0,64279 / 7 = 5,78509 / 7 = 0,82644

Ahora bien, arcsen(0,82644) ≈ 55,74°, pero también 180° − 55,74° = 124,26° tiene ese mismo seno (recuerda: sen(180° − α) = sen α).

¿Son válidas las dos? Comprobamos que los ángulos sumen menos de 180°:

• Si B = 55,74°: A + B = 95,74° < 180°. Válido. C = 84,26°.
• Si B = 124,26°: A + B = 164,26° < 180°. También válido. C = 15,74°.

Hay dos triángulos posibles. Un examen que dé este dato sin más pide las dos soluciones, y quedarse con una sola cuesta la mitad de la nota. La regla práctica: si el ángulo conocido es opuesto al lado menor, comprueba siempre la segunda solución.

El teorema del coseno

a² = b² + c² − 2bc · cos A

Y sus versiones para los otros lados:

• b² = a² + c² − 2ac · cos B
• c² = a² + b² − 2ab · cos C

Esto es una generalización del teorema de Pitágoras. Si A = 90°, entonces cos A = 0 y la fórmula se reduce a a² = b² + c². El término −2bc·cos A es el "término corrector" que aparece cuando el ángulo no es recto: si A es agudo, cos A > 0 y el lado sale más corto que en el caso recto; si A es obtuso, cos A < 0 y el lado sale más largo.

Cuándo usarlo:

• Conoces dos lados y el ángulo que forman (caso LAL) y quieres el tercer lado.
• Conoces los tres lados (caso LLL) y quieres los ángulos.

Ejemplo LAL: b = 8, c = 5 y A = 60°. Halla a.

a² = 8² + 5² − 2 · 8 · 5 · cos 60° = 64 + 25 − 80 · 0,5 = 89 − 40 = 49

a = 7

Números redondos, no siempre hay tanta suerte.

Ejemplo LLL: un triángulo tiene lados 7, 9 y 12. Halla sus ángulos.

Empieza siempre por el ángulo opuesto al lado mayor (el 12), porque es el único que puede ser obtuso. Despejamos de la fórmula:

cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) = (49 + 81 − 144) / (2 · 7 · 9) = (−14) / 126 = −0,11111

C = arccos(−0,11111) ≈ 96,38°

Es obtuso, como sospechábamos por el signo negativo. Ahora otro ángulo, por ejemplo el opuesto al 7:

cos A = (81 + 144 − 49) / (2 · 9 · 12) = 176 / 216 = 0,81481 → A ≈ 35,43°

Y el tercero por diferencia: B = 180° − 96,38° − 35,43° = 48,19°

Comprobación independiente con el teorema del coseno: cos B = (49 + 144 − 81)/(2 · 7 · 12) = 112/168 = 0,66667 → B = 48,19°. Coincide.

Consejo: cuando uses el teorema del seno para hallar un segundo ángulo después del coseno, cuidado con el caso ambiguo. Es más seguro hallar el ángulo mayor primero con el teorema del coseno y luego usar el seno para los otros, porque los ángulos restantes son necesariamente agudos.

Cuál usar: el árbol de decisión

Memorizar esta tabla te ahorra más tiempo en el examen que memorizar cualquier fórmula.

Problema real: la anchura de un río

Desde dos puntos A y B de la misma orilla, separados 50 m, se observa un árbol C en la orilla opuesta. Los ángulos medidos son A = 65° y B = 78°. ¿A qué distancia está el árbol de cada punto?

Tercer ángulo: C = 180° − 65° − 78° = 37°.

Teorema del seno, con el lado conocido c = AB = 50 opuesto al ángulo C:

AC = b = 50 · sen B / sen C = 50 · 0,97815 / 0,60181 = 50 · 1,62533 ≈ 81,27 m

BC = a = 50 · sen A / sen C = 50 · 0,90631 / 0,60181 = 50 · 1,50596 ≈ 75,30 m

Este es exactamente el método que usan los topógrafos: se llama triangulación, y con él se midieron continentes enteros antes del GPS.

Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que la incógnita está dentro de un seno, un coseno o una tangente. Tienen una peculiaridad: como las funciones son periódicas, casi siempre hay infinitas soluciones.

El procedimiento general

1. Reduce todo a una sola razón y un solo ángulo (usando las identidades).
2. Resuelve como si fuera una ecuación algebraica normal, tratando sen x o cos x como si fuera una letra.
3. Deshaz la razón trigonométrica, buscando todas las soluciones en una vuelta completa (0° a 360°).
4. Añade la periodicidad: +360°k para seno y coseno, +180°k para tangente.
5. Comprueba las soluciones en la ecuación original (algunas pueden ser falsas si has elevado al cuadrado).

Ecuaciones inmediatas

sen x = 1/2. En una vuelta, el seno vale 1/2 en dos puntos: 30° (primer cuadrante) y 150° (segundo cuadrante, donde el seno también es positivo). Soluciones: x = 30° + 360°k y x = 150° + 360°k.

cos x = −√2/2. El coseno es negativo en los cuadrantes segundo y tercero. El ángulo de referencia es 45°, así que las soluciones son 180° − 45° = 135° y 180° + 45° = 225°. Soluciones: x = 135° + 360°k y x = 225° + 360°k.

tg x = √3. La tangente vale √3 en 60°, y como su período es 180°, también en 240°. Solución compacta: x = 60° + 180°k.

Ecuaciones de segundo grado disfrazadas

2sen²x − sen x − 1 = 0

Llama t = sen x. Queda 2t² − t − 1 = 0, una ecuación de segundo grado normal:

t = [1 ± √(1 + 8)] / 4 = (1 ± 3) / 4

Soluciones: t = 1 y t = −1/2.

• sen x = 1 → x = 90° + 360°k
• sen x = −1/2 → el seno es negativo en los cuadrantes III y IV, con ángulo de referencia 30°: x = 210° + 360°k y x = 330° + 360°k

Ecuaciones que exigen una identidad

2cos²x + sen x = 2

Aquí hay dos razones distintas, así que hay que unificar. Sustituimos cos²x = 1 − sen²x:

2(1 − sen²x) + sen x = 2 2 − 2sen²x + sen x = 2 −2sen²x + sen x = 0 sen x · (1 − 2sen x) = 0

• sen x = 0 → x = 0° y x = 180° (+360°k)
• sen x = 1/2 → x = 30° y x = 150° (+360°k)

Fíjate en que no hemos dividido entre sen x. Si lo hubiéramos hecho, habríamos perdido las soluciones x = 0° y x = 180°. Dividir entre una expresión que puede valer cero es el error clásico de este tema: hay que factorizar, nunca dividir.

Ecuaciones con ángulos distintos

sen 2x = sen x

Aplicamos la fórmula del ángulo doble para tener el mismo ángulo en ambos lados:

2 sen x cos x = sen x 2 sen x cos x − sen x = 0 sen x (2cos x − 1) = 0

• sen x = 0 → x = 0°, 180°
• cos x = 1/2 → x = 60°, 300°

En el intervalo [0°, 360°) hay cuatro soluciones: 0°, 60°, 180° y 300°.

sen 2x = √3/2

Aquí no conviene desarrollar. Llama u = 2x y resuelve: sen u = √3/2 → u = 60° + 360°k o u = 120° + 360°k. Ahora deshaz el cambio dividiendo entre 2:

x = 30° + 180°k, o x = 60° + 180°k

En [0°, 360°): x = 30°, 60°, 210° y 240°. Cuidado: al dividir, el período también se divide. Olvidarlo hace perder la mitad de las soluciones.

Las gráficas de seno y coseno

La función seno

Si vas girando el punto P por la circunferencia goniométrica y vas anotando su altura, obtienes la gráfica del seno:

La curva resultante es una onda (una sinusoide) que sube de 0 a 1, baja hasta −1 y vuelve a 0. Sus características:

• Dominio: todos los números reales.
• Recorrido: [−1, 1].
• Período: 360° (o 2π rad). A partir de ahí se repite idéntica, infinitamente, hacia los dos lados.
• Amplitud: 1 (la mitad de la distancia entre el máximo y el mínimo).
• Simetría: es impar, sen(−x) = −sen x. La gráfica es simétrica respecto al origen.
• Corta el eje x en 0°, 180°, 360°… es decir, en los múltiplos de 180°.

La función coseno

Tiene exactamente la misma forma que el seno, pero desplazada 90° a la izquierda. De hecho, se cumple cos x = sen(x + 90°). Sus características:

• Recorrido: [−1, 1]. Período: 360°. Amplitud: 1.
• Simetría: es par, cos(−x) = cos x. Simétrica respecto al eje y.
• Corta el eje x en 90°, 270°, 450°… los múltiplos impares de 90°.

La función tangente

La tangente es distinta. Como tg x = sen x/cos x, se dispara hacia el infinito cuando el coseno se acerca a cero:

• Dominio: todos los reales excepto 90° + 180°k.
• Recorrido: todos los reales (no está acotada).
• Período: 180°, la mitad que las otras dos.
• Tiene asíntotas verticales en 90°, 270°, etc.

Transformaciones: y = A · sen(Bx + C) + D

Esta es la forma general que aparece en Bachillerato y en física (movimiento armónico simple, ondas, corriente alterna). Cada parámetro hace una cosa concreta:

• A es la amplitud: estira o comprime la onda verticalmente. Si A es negativo, además la refleja.
• B controla el período: T = 360°/|B| (o 2π/|B| en radianes). Cuanto mayor sea B, más apretada está la onda.
• C produce un desplazamiento horizontal (desfase) de −C/B.
• D produce un desplazamiento vertical: la onda oscila alrededor de la recta y = D.

Ejemplos:

• y = 2·sen x → amplitud 2, oscila entre −2 y 2, período 360°.
• y = sen(3x) → amplitud 1, período 360°/3 = 120°. Caben tres ondas donde antes cabía una.
• y = sen x + 1 → misma onda, pero oscilando entre 0 y 2.
• y = 2·sen(3x) → amplitud 2 y período 120° a la vez.

Si te piden dibujar una de estas gráficas, no calcules cien puntos. Calcula cinco: el inicio, el máximo, el corte central, el mínimo y el final de un período. Únelos con una curva suave y repite el patrón. Es lo que hacen los profesores en la pizarra.

Dieciséis ejercicios resueltos, de menor a mayor dificultad

Nivel básico

1. En un triángulo rectángulo los catetos miden 3 y 4 cm. Halla las razones trigonométricas de sus ángulos agudos.

Hipotenusa: √(9 + 16) = 5. Para α (opuesto al 3): sen α = 3/5 = 0,6; cos α = 4/5 = 0,8; tg α = 3/4 = 0,75; α ≈ 36,87°. Para β: sen β = 0,8; cos β = 0,6; tg β ≈ 1,333; β ≈ 53,13°.

2. Sabiendo que sen α = 5/13 y que α es agudo, calcula cos α y tg α.

cos²α = 1 − 25/169 = 144/169 → cos α = 12/13 (positivo, porque α es agudo). tg α = (5/13)/(12/13) = 5/12.

3. Sabiendo que cos α = −0,6 y que α pertenece al segundo cuadrante, halla sen α y tg α.

sen²α = 1 − 0,36 = 0,64 → sen α = ±0,8. En el segundo cuadrante el seno es positivo: sen α = 0,8. tg α = 0,8/(−0,6) = −4/3 ≈ −1,333.

4. Pasa 135° a radianes y 7π/6 rad a grados.

135 · π/180 = 3π/4 rad. (7π/6) · (180/π) = 7 · 30 = 210°.

5. Calcula sin calculadora sen 150°, cos 240° y tg 315°.

sen 150° = sen(180° − 30°) = sen 30° = 1/2. cos 240° = cos(180° + 60°) = −cos 60° = −1/2. tg 315° = tg(360° − 45°) = −tg 45° = −1.

Nivel intermedio

6. Simplifica la expresión (1 − cos²x) / sen x.

1 − cos²x = sen²x, luego la expresión es sen²x / sen x = sen x (para sen x ≠ 0).

7. Demuestra que tg²x + 1 = 1/cos²x.

tg²x + 1 = sen²x/cos²x + 1 = (sen²x + cos²x)/cos²x = 1/cos²x. Demostrado.

8. Desde 30 m de la base de un edificio se mide un ángulo de elevación de 38°. Los ojos del observador están a 1,65 m. ¿Cuánto mide el edificio?

h = 30 · tg 38° = 30 · 0,78129 = 23,44 m. Total: 23,44 + 1,65 = 25,09 m.

9. Una escalera de 4,5 m forma 72° con el suelo. ¿Qué altura alcanza y a qué distancia está su pie de la pared?

Altura = 4,5 · sen 72° = 4,5 · 0,95106 ≈ 4,28 m. Distancia = 4,5 · cos 72° = 4,5 · 0,30902 ≈ 1,39 m.

10. Un árbol de 6 m proyecta una sombra de 9 m. ¿Qué ángulo forman los rayos solares con el suelo?

tg α = 6/9 = 0,6667 → α = 33,69°.

11. Un sector circular tiene radio 5 cm y ángulo 60°. Halla la longitud de su arco y su área.

60° = π/3 rad ≈ 1,0472. Arco: s = 5 · 1,0472 ≈ 5,24 cm. Área: (1/2) · 25 · 1,0472 ≈ 13,09 cm².

Nivel avanzado

12. En un triángulo, A = 40°, B = 75° y a = 12 cm. Resuélvelo y halla su área.

C = 65°. b = 12 · sen 75°/sen 40° ≈ 18,03 cm. c = 12 · sen 65°/sen 40° ≈ 16,92 cm. Área = 0,5 · 12 · 18,03 · sen 65° ≈ 98,1 cm².

13. En un triángulo, b = 8, c = 5 y el ángulo que forman es A = 60°. Halla a.

a² = 64 + 25 − 2 · 8 · 5 · 0,5 = 89 − 40 = 49 → a = 7.

14. Un triángulo tiene lados 7, 9 y 12. Halla sus tres ángulos.

cos C = (49 + 81 − 144)/126 = −0,11111 → C ≈ 96,38°. cos A = (81 + 144 − 49)/216 = 0,81481 → A ≈ 35,43°. B = 180 − 96,38 − 35,43 ≈ 48,19°.

15. Desde un punto del suelo se ve la punta de una torre con un ángulo de 30°. Avanzando 40 m en línea recta hacia la torre, el ángulo pasa a ser de 45°. ¿Cuánto mide la torre?

Llamemos h a la altura y d a la distancia desde el punto más cercano. Desde ese punto, tg 45° = h/d → d = h. Desde el punto lejano, tg 30° = h/(d + 40) → d + 40 = h/tg 30° = h·√3.

Sustituyendo d = h: h + 40 = h√3 → 40 = h(√3 − 1) → h = 40/(√3 − 1).

Racionalizando: h = 40(√3 + 1)/((√3 − 1)(√3 + 1)) = 40(√3 + 1)/2 = 20(√3 + 1) ≈ 20 · 2,73205 ≈ 54,64 m.

Comprobación: si h = 54,64 y d = 54,64, entonces d + 40 = 94,64, y tg 30° = 54,64/94,64 = 0,5774 = √3/3. Correcto.

16. Resuelve la ecuación 2cos²x + sen x = 2 en el intervalo [0°, 360°).

Sustituimos cos²x = 1 − sen²x: 2 − 2sen²x + sen x = 2 → sen x(1 − 2sen x) = 0. Soluciones: sen x = 0 → x = 0° y 180°; sen x = 1/2 → x = 30° y 150°.

Si has resuelto los dieciséis sin mirar, tienes el tema aprobado con nota. Si has fallado alguno, no pases página: repítelo mañana desde cero. En Profe 24/7 esto es exactamente lo que hace el tutor cuando detecta un fallo: no te da la solución, te vuelve a plantear el mismo tipo de problema con otros números hasta que sale solo.

Errores típicos que te cuestan puntos

1. La calculadora en radianes cuando el problema va en grados. Este es el error del tema. Si calculas sen 30° y te sale −0,988, tienes la calculadora en RAD. Debe poner DEG o D en la pantalla. Compruébalo antes de empezar el examen calculando sen 30°: tiene que dar exactamente 0,5.

2. Confundir cateto opuesto y contiguo. Recuerda que dependen del ángulo que estés mirando. Marca en el dibujo con dos colores distintos cuál es cuál antes de escribir la razón.

3. Usar Pitágoras en un triángulo que no es rectángulo. Solo vale con ángulo de 90°. Si no lo hay, tu herramienta es el teorema del coseno.

4. Creer que sen(a + b) = sen a + sen b. Falso, como hemos comprobado con números. El seno no es una función lineal y no "se reparte" sobre sumas. Lo mismo con sen(2x), que no es 2·sen x.

5. Olvidar el segundo ángulo en una ecuación. Si sen x = 0,5, no es solo 30°: también es 150°. La calculadora solo te da una de las soluciones (la del primer o cuarto cuadrante). El resto las pones tú, con la circunferencia delante.

6. Ignorar el caso ambiguo del teorema del seno. Cuando el ángulo conocido es opuesto al lado menor, comprueba siempre si el suplementario también da un triángulo válido.

7. Redondear demasiado pronto. Si en un problema de tres pasos redondeas a dos decimales en cada paso, el error se acumula. Trabaja con todos los decimales de la calculadora y redondea solo al final.

8. Olvidar la altura del observador. Si el enunciado dice "los ojos están a 1,60 m", ese dato hay que sumarlo. Si no lo dice, no lo inventes.

9. Dividir entre sen x o cos x en una ecuación. Puedes estar dividiendo entre cero y perder soluciones. Pasa todo a un lado y factoriza.

10. No dibujar. Un problema de trigonometría sin dibujo es un problema mal planteado. Dedícale treinta segundos: es la mejor inversión de tiempo del examen.

11. Escribir sen²x como sen x². No es lo mismo: sen²x = (sen x)², mientras que sen(x²) es el seno del cuadrado. Los correctores lo penalizan.

12. Dar un resultado imposible sin darse cuenta. Si te sale un coseno de 1,7, una hipotenusa más corta que un cateto o ángulos que suman 190°, hay un error. Revisa siempre la coherencia del resultado antes de pasar al ejercicio siguiente.

Plan de seis días para dominar la trigonometría

Este plan asume unos 50-60 minutos diarios de trabajo real, sin móvil delante. Se puede comprimir en tres días haciendo dos bloques diarios, pero no se puede saltar ninguno.

Día 1 — Las tres razones y el triángulo rectángulo. Dibuja diez triángulos rectángulos con medidas distintas y escribe las seis razones (tres por cada ángulo agudo) de cada uno. Sin calculadora, solo fracciones. El objetivo no es calcular, es que "opuesto/hipotenusa" salga automático. Termina memorizando SOH-CAH-TOA.

Día 2 — Ángulos notables y circunferencia goniométrica. Deduce la tabla completa dibujando el medio equilátero y el medio cuadrado. Hazlo tres veces desde cero, sin mirar. Después dibuja la circunferencia, coloca los cuatro cuadrantes y calcula sen, cos y tg de 120°, 135°, 150°, 210°, 225°, 240°, 300°, 315° y 330° reduciéndolos al primer cuadrante.

Día 3 — Radianes e identidades. Convierte veinte ángulos de grados a radianes y otros veinte al revés. Después trabaja sen²+cos²=1: diez ejercicios del tipo "dado sen α y el cuadrante, halla cos α y tg α", y cinco de simplificar expresiones.

Día 4 — Problemas de triángulos rectángulos. Ocho o diez problemas contextualizados: alturas, sombras, rampas, escaleras, ángulos de elevación y depresión. Dibuja todos. Este es el día que más se parece al examen de 4º de la ESO.

Día 5 — Teorema del seno y del coseno. Aprende el árbol de decisión (qué teorema según los datos) y resuelve seis triángulos cualesquiera, incluyendo uno con caso ambiguo. Añade dos problemas de triangulación (anchura de un río, distancia entre dos puntos inaccesibles).

Día 6 — Ecuaciones, gráficas y simulacro. Por la mañana, ocho ecuaciones trigonométricas de dificultad creciente y el repaso de las gráficas con transformaciones. Por la tarde, un simulacro completo cronometrado con ejercicios que no hayas visto, corrigiéndolo después con honestidad. Los fallos del simulacro son tu lista de repaso para la víspera.

Si en algún día te atascas más de veinte minutos en el mismo ejercicio, no sigas dando vueltas: pregunta. Ese es el hueco que llena Profe 24/7, que está disponible a la hora a la que realmente estudias y te explica el paso concreto en el que te has quedado, no el tema entero otra vez.

Cómo encaja la trigonometría en el resto del curso

Merece la pena entender por qué este tema se estudia con tanta insistencia.

En 4º de la ESO, la trigonometría es geometría aplicada: se resuelven triángulos y se calculan distancias. Es la primera vez que las matemáticas resuelven un problema físico real, y por eso es un tema con el que muchos alumnos se reconcilian con la asignatura. Puedes ver el temario completo en Matemáticas de 4º de ESO.

En 1º de Bachillerato, el enfoque cambia: las razones dejan de ser propiedades de un triángulo y pasan a ser funciones. Aparecen las identidades, las ecuaciones, las fórmulas de suma y ángulo doble, y las gráficas. Es un tema largo y con mucha fórmula, uno de los que más peso tienen en la nota. Está detallado en Matemáticas de 1º de Bachillerato.

En 2º de Bachillerato, la trigonometría deja de ser un tema propio, pero está en todas partes: en la derivada e integral de senos y cosenos, en los límites, en los vectores y el producto escalar, en los números complejos en forma polar. Quien llega a segundo sin dominarla arrastra un lastre en media asignatura. Lo puedes ver en Matemáticas de 2º de Bachillerato.

Y en la Selectividad, aparece camuflada en geometría analítica del espacio (ángulos entre rectas y planos) y en cualquier función trigonométrica que haya que derivar o integrar. Si estás en esa fase, te interesa la guía para preparar la Selectividad.

Para el enfoque general de la asignatura, con el método de estudio y la gestión del tiempo, tienes la guía de cómo aprobar matemáticas. La trigonometría, como casi todo en esta asignatura, no se aprueba entendiéndola: se aprueba practicándola después de entenderla.

Preguntas frecuentes

¿Para qué sirve la trigonometría en la vida real?

Para medir lo que no se puede medir directamente. La usan topógrafos para levantar mapas, arquitectos para calcular pendientes y estructuras, el GPS para triangular tu posición, la astronomía para calcular distancias estelares y la física para describir ondas, sonido y corriente alterna. Es de las matemáticas más aplicadas que existen.

¿Hay que memorizar la tabla de ángulos notables?

No es necesario, y es mejor no hacerlo. Dibujando medio triángulo equilátero de lado 2 y medio cuadrado de lado 1 obtienes todos los valores en un minuto. Si aun así quieres un atajo, recuerda que los senos son √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 y √4/2, y los cosenos, los mismos al revés.

¿Cuándo uso el teorema del seno y cuándo el del coseno?

Depende de los datos. Si conoces un lado y su ángulo opuesto, usa el teorema del seno. Si conoces dos lados y el ángulo que forman, o los tres lados, usa el del coseno. Regla práctica: el coseno para los casos LAL y LLL; el seno para el resto.

¿Por qué mi calculadora da resultados raros con senos y cosenos?

Casi siempre por el modo angular. Si la pantalla pone RAD o GRA en lugar de DEG, los resultados serán incorrectos para problemas en grados. Compruébalo calculando sen 30°: debe dar exactamente 0,5. Si da otra cosa, cambia el modo en la tecla MODE o DRG.

¿Puede el seno de un ángulo ser mayor que 1?

No, nunca. El seno y el coseno son coordenadas de un punto sobre una circunferencia de radio 1, así que siempre están entre −1 y 1. Si te sale un valor mayor, hay un error de cálculo o el problema no tiene solución. La tangente, en cambio, sí puede tomar cualquier valor.

¿Qué diferencia hay entre grados y radianes?

Son dos unidades para lo mismo. El grado divide la vuelta en 360 partes por convenio histórico; el radián la mide en función del propio radio, por lo que 360° = 2π rad. Los radianes son imprescindibles en Bachillerato porque simplifican fórmulas de arcos, áreas, derivadas e integrales.

¿Cuántos ejercicios hay que hacer para aprobar el tema?

Entre cuarenta y sesenta bien repartidos: unos quince de razones e identidades, quince de triángulos rectángulos, diez de teoremas del seno y coseno y diez de ecuaciones. Lo decisivo no es el número total, sino la variedad y hacerlos repartidos en varios días en lugar de todos la víspera.

¿Cómo puede ayudarme un tutor con IA en trigonometría?

Es un tema en el que los fallos son muy concretos: un cuadrante mal asignado, una razón invertida, una solución perdida. Profe 24/7 revisa tu procedimiento paso a paso, señala el punto exacto del error y te propone un ejercicio equivalente para consolidarlo, disponible a cualquier hora sin esperar a la clase siguiente.

Conclusión

La trigonometría asusta el primer día y se vuelve mecánica al quinto. Todo el tema descansa sobre tres cocientes de lados, una circunferencia de radio 1 y un puñado de identidades que salen del teorema de Pitágoras. No hay nada que creerse a ciegas: cada fórmula tiene un dibujo detrás, y ese dibujo lo puedes reconstruir en el margen del examen si te quedas en blanco.

La estrategia ganadora es la de siempre en matemáticas: entiende primero de dónde sale cada cosa, deduce en lugar de memorizar, dibuja siempre y practica hasta que el procedimiento salga sin pensarlo. Y cuando te atasques —que te atascarás, todo el mundo se atasca con el caso ambiguo o con las ecuaciones—, resuelve la duda el mismo día. Un concepto que se queda a medias en trigonometría no se queda quieto: reaparece en las derivadas, en los vectores y en la Selectividad.

Si quieres tener a mano a alguien que te explique el paso exacto donde te has perdido, a la hora a la que estudias de verdad, ese es el trabajo de Profe 24/7.